בגרות במתמטיקה, סיכומים, פתרונות מלאים וטיפים מתמטיים לפי נושאים
בגרות במתמטיקה
פתרונות מלאים וסופיים, סיכומים וחומרי לימוד
ודגשים מתמטיים לפי נושאים
מאגר מת"ל במכללת קיי, באר-שבע



תוכן המדור
אתרים כלליים - הכנה לבחינות הבגרות במתמטיקה
אתרים כלליים - התמקדות בגאומטריה
כתבי עת מתמטיים
מבחני מתכונת במתמטיקה
מדורי מתמטיקה באתרים בית-ספריים
סיכומים וקבצי עזר
סיכומים לבגרות במתמטיקה לשאלוני 4 ו-5 יח"ל (806+807+005)/ מאיר בכור
ספרים לסיכום נוסחאות, הגדרות ומשפטים במתמטיקה
פורומים
פתרונות מלאים/סופיים לבחינות הבגרות במתמטיקה
קישורים למדורי בגרויות במת"ל
תמצית טיפים, דגשים מתמטיים והנחיות בנושאי הבגרות
אינדוקציה
אמצע קטע בבעיות גאומטריות (הנדסת המישור והנדסה אנליטית)
בעיות אחוזים ובעיות קנייה ומכירה
בעיות גידול ודעיכה
בעיות הספק
בעיות מילוליות גאומטריות
בעיות קיצון מילוליות
בעיות תנועה
גאומטריה אנליטית, פונקציות וגרפים
גאומטריה של המישור - טכניקות להוכחה, בניות עזר ומשפטי עזר שימושיים
גאומטריה של המישור - מעגל
גאומטריה של המישור - משולשים ומרובעים
גאומטריה של המישור - פרופורציה ודמיון
גאומטריה של המישור - שטחים
הסתברות קלאסית וחשיבה הסתברותית בחיי יום-יום
התנהגות פונקציה והקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת
חזקות
חפיפת משולשים
חקירת משווואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה
חשבון אינטגרלי
חשבון דיפרנציאלי
חשבון דיפרנציאלי - שאלות עם פרמטרים
טריגונומטריה - זהויות ומשוואות טריגונומטריות
טריגונומטריה במישור ובמרחב
כתבי עת מתמטיים
לוגריתמים
משוואות ואי-שוויונות
סדרות (חשבונית, הנדסית, אינסופית, כללית ונסיגה)
סטטיסטיקה
פונקציות
פירוק לגורמים ונוסחאות הכפל המקוצר
פסילת תשובות
קומבינטוריקה
אתרים כלליים - הכנה לבחינות הבגרות במתמטיקה


לחצו למעבר
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        
                                                                                            
        


    


 


 

אתרים כלליים - התמקדות בגאומטריה

                                      

סיכומים וקבצי עזר
ספרים לסיכום נוסחאות, הגדרות ומשפטים במתמטיקה
תמצית טיפים, דגשים מתמטיים והנחיות בנושאי הבגרות

 מדור זה בבנייה.

 

דגשים, הנחיות וטיפים לנושאי הלימוד במתמטיקה, כתוספת לנוסחאות ולדוגמאות בספרי הלימוד.

אינדוקציה

* הכרת הניסוחים המשמים לשלבי ההוכחה (מצוי בכל ספר לימוד).
1.
אינדוקציה עם אי-שוויונים – להציג קודם דוגמה במספרים. רק אח"כ להוכיח תרגיל פשוט
    ולהראות את האנלוגיה בין שני המקרים. דוגמה מספרית תקל את ההבנה של רעיון ההוכחה.
    למשל: הוכח כי
1+2+3+4> 8.
2. השוויון " קבוע
an+2-an= " נכון עבור האיברים במקומות הזוגיים וגם במקומות האי-זוגיים.
אמצע קטע בבעיות גאומטריות (הנדסת המישור והנדסה אנליטית)

אמצע קטע בבעיות גיאומטריות (הנדסת המישור)

 

כאשר הנתונים בבעיה גיאומטרית מצביעים על אמצע/י קטע/ים בצורות גיאומטריות מסוימות,
ניתן להשתמש ישירות במשפטים הייעודיים בנושא זה.
היכן אפשר לפגוש את הנתונים הללו ובאילו סוגי שאלות וצורות גיאומטריות ניתן להשתמש בהם?

1.
השימוש הכי נפוץ הוא תיכון במשולש. התיכון חוצה את הצלע שמול הקודקוד ממנו הוא יוצא.

אבל במרבית השאלות לא נאמר במפורש שהתיכון "נמצא" והפותר מתבקש להגיע אל המסקנה
העוסקת באמצע הקטע ע"י שימוש במשפטים נוספים הקשורים לצורה הגיאומטרית הנתונה בשאלה.

2.
אמצע היתר במשולש ישר זווית מרמז על משפט התיכון ליתר.

3.
אנך אמצעי במשולש רגיל או משולש שווה שוקיים ממשלא שני תפקידים: תיכון+גובה.
   
הגובה/חוצה זווית היוצא מזווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון לבסיס.
   
הגובה/חוצה זווית היוצא מכל קודקוד במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון.

4.
קטע אמצעים במשולש  - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
   
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן צלעות משולש שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

5.
קטע אמצעים בטרפז - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
   
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן שוקי טרפז שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

6. בצורות הבאות: מקבילית, מלבן, מעויין וריבוע:
         
האלכסונים חוצים זה את זה, קרי: נקודת מפגש האלכסונים היא אמצע קטע של כל אלכסון.

   
אבל בדלתון רק האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו.
   
האלכסון המשני אינו חוצה את האלכסון הראשי.

 



7.
אמצע קטע במעגל - השימוש הבסיסי: מרכז המעגל הוא אמצע הקטע של הקוטר.
                               
כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה.

8.
אנך היוצא ממרכז המעגל למיתר, חוצה את המיתר.
   
אם מרכז המעגל הוא Oוהאנך OAמאונך למיתר BC, אז Aאמצע קטע ולכן BA=AC.

9.
שטחים - התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
   
לכן, נתון על אמצע קטע בשאלה העוסקת בשטחים, יכול לחייב תיכון כבניית עזר,
  
ושימוש במשפט שהוזכר.

בעיות אחוזים ובעיות קנייה ומכירה
דגשים:

1. אם הגודל המקורי x גדל ב-32%, הגודל החדש הוא 1.32x .
    אם הגודל המקורי x גדל ב-5%, הגודל החדש הוא 1.05x  .
2. אם הגודל המקורי x קטן ב-32%, הגודל החדש הוא 0.67x   .
    אם הגודל המקורי x קטן ב-5%, הגודל החדש הוא 0.95x   .
3. אם מקטינים את הגודל המקורי x ב-10% ולאחר מכן מגדילים ב-10%, הגודל החדש הוא 0.99x  .
    אם מגדילים את הגודל המקורי x ב-10% ולאחר מכן מקטינים ב-10%, הגודל החדש הוא 0.99x   .
    * הגודל החדש תמיד יהיה קטן מהגודל המקורי.
4. אם הגודל המקורי הוא x, שתי התיקרויות בשיעור 15% גדולות מהתיקרות אחת בשיעור 30%:
    1.3225x  = 1.15*1.15x  לעומת  1.30x.
5. אם הגודל המקורי הוא x, שתי הוזלות בשיעור 15% קטנות מהוזלה אחת בשיעור 30%:
     0.7225x  = 0.85*0.85x  לעומת  0.70x.
6. נתונים: x=30 ,y=50 . איזה אחוז מהווה x מ-y ?  
    פתרון:     x/y=30/50=0.6 . נכפיל פי 100 ונקבל 60%.

 

כללים בסיסיים:
1. דנה קנתה 20 בקבוקי יין משני סוגים.
    בטבלה לסמן 
X כמספר הבקבוקי מסוג א' ו-  X-20 כמספר הבקבוקים מסוג ב'.

בעיות גידול ודעיכה
בעיות הספק
בעיות מילוליות גאומטריות

 

דגשים:


1. --
2. אם רוחב מלבן הוא
x ושטחו 60, אז אורך המלבן הוא 60/x.
3. אם רחוב מלבן הוא
x והיקפו 60, אז אורך המלבן הוא (60-2x)/2.
4. אם נתון כי שטח צורה גאומטרית הוא 60, בדר"כ נתון גודל צלע נוספת, ולכן יש
    להפעיל את נוסחת השטח הרצויה למציאת צלע נוספת. למשל, נתון שטח משולש
    ואורך הבסיס. נציב את הנתונים ונמצא את הגובה.
5. אם שטח הריבוע הוא
3/5 משטח המלבן, אז שטח הריבוע קטן משטח המלבן, והמשוואה היא:
    (שטח המלבן)*3/5 = שטח הריבוע.
    ניסוח נוסף באחוזים: שטח הריבוע מהווה 60% משטח המלבן.
6. נתונים:
x=30   ,y=50 . איזה אחוז מהווה x מ-y ?
   
x/y=30/50=0.6 . נכפיל פי 100 ונקבל 60%.

 
בעיות מילוליות גאומטריות

1. אלכסוני המלבן מחלקים אותו ל-4 משולשים שווי שוקיים.
2. במשולש שווה שוקיים, הגובה היוצא מזווית הראש הוא גם תיכון וגם חוצה זווית.
3. במשולש ישר זווית, הצלע הארוכה ביותר היא היתר.


    

בעיות קיצון מילוליות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - נושאי שאלות לבחינת הבגרות במתמטיקה
 

 

 

ההרחבה לכל סעיף תינתן בהמשך ברשומה נפרדת לכל נושא

1.
חקירת פונקציה

          1. תחום הגדרה: ביטויים עם מכנה, שורש או פונקציות לוגריתמיות.
          2.
נקודות חיתוך עם הצירים.
             
X=0- חיתוך עם ציר Y.
              
Y=0- חיתוך עם ציר X
          3.
נקודות קיצון - השוואת הנגזרת ל-0. (מקרה חריג: נקודת קיצון על אסימפטוטה אנכית)

    בפונקציות התחומות בגבולות מסוימים, גם נקודות הקצה נחשבות נקודות קיצון.
          4.
סיווג נקודות קיצון לפי MIN או  MAX ע"י טבלת ערכים או נגזרת שנייה.
          5.
תחומי עלייה וירידה (לפי הטבלה בסעיף הקודם).
          6.
תחומי חיוביות ושליליות של הפונקציה (הפונקציה נמצאת מעל ציר X או מתחתיו).

7. נקודות פיתול.
          8.
נקודות חיתוך של הישר Y=Kעם הפונקציה.
          9.
בדיקת עלייה או ירידה של הפונקציה בנקודה ספציפית ע"י הצבת ערך
              
ה-Xשל הנקודה בנגזרת.
          10.
אסימפטוטה אפקית, אסימפטוטה אנכית ואסימפטוטה משופעת (פירוט ברשומה נפרדת).
              
מציאת נקודת "חור" של הפונקציה או נקודת אי-רציפות סליקה.
          11.
שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.

בעיות תנועה

 

סיווג בעיות תנועה

1. שוויון דרכים 1 – רכב נוסע הלוך במהירות מסוימת, וחזור במהירות אחרת. הזמנים שונים אבל הדרכים שוות.
2. שוויון דרכים 2 – מכונית ומשאית יוצאות מאותה נקודה. המשאית יצאה לפני המכונית, אך מהירותה קטנה משלה,
                             ולכן המכונית תשיג את המשאית ובנקודה זו המכונית שהתה בדרך פחות זמן, אבל הדרכים שוות.
3. סכום דרכים – מכונית ומשאית יוצאות משתי נקודות שמרחקן 200 ק"מ , וכל רכב נוסע לנקודה ממנה יצא הרכב השני.
                         שני הרכבים יפגשו בנקודה כלשהי על הדרך. שניהם ביחד עברו 200 ק"מ.
4. חלוקה לשלבים ןשינוי לעומת התכנון המקורי – רכב יוצא מנקודה אחת לנקודה אחרת במהירות קבועה.
                                                                    בדרך חזור, המהירויות משתנות והרכב  מתעכב בדרך (מנוחה).
                                                                    הזמן בהלוך יכול להיות קטן/גדול/שווה מהזמן בהלוך. הדרכים שוות.
5. שני רכבים יוצאים לדרך מאותה נקודה. האחד נוסע מזרחה/מערבה והשני צפונה/דרומה – רמז למשפט פיתגורס.

* על כל המקרים שהוזכרו מעלה תיתכנה גרסאות שונות ושילובים שונים.
                       

גאומטריה אנליטית, פונקציות וגרפים


* זיהוי ישרים:
   אם
m  חיובי, הפונקציה עולה.
   אם
m  שלילי, הפונקציה יורדת.
   אם
m=0, הפונקציה קבועה (קו מקביל לציר x. הפונקציה אינה עולה ואינה יורדת).
   אם לשני ישרים אותו שיפוע
m, אז ה-n הגדול יותר מייצג את הגרף הגבוה מבין השניים.
   אם לשני ישרים שיפוע שונה, אז ה-
m הגדול יתר מיצג את הגרף התלול יותר שעולה מהר יותר. מבחינה גרפית, זהו
         הגרף שהזווית שלו עם ציר ה-
y קטנה יותר.

1. אם הנתון היחידי על נקודה בשרטוט הוא הימצאותה על משוואת קו ישר או פונקציה אחרת, נסמן את שיעוריה.
   למשל: הנקודה
A נמצאת על הישר y=2x+5.  נסמן A(x,2x+5). בהמשך השאלה נצטרך להציב שיעורים אלו
              באחת מהנוסחאות (אמצע קטע, חישוב אורך קטע, וכן הלאה).
   כך נוכל להתחיל מנקודת עוגן ולהציב נתון זה במשוואות.
3. ערך הפונקציה בנקודה הוא אך ורק שיעור ה-
y של הנקודה על הפונקציה, ולא הזוג הסדור (x,y).
    רק כאשר מתבקשים למצוא את הנקודה, נשתמש בזוג הסדור.

4. אין קשר בין עליה/ירידה של פונקציה לבין תחומי חיוביות/שליליות.
    פונקציה עולה יכולה להיות שליית, ולהיפך. פונקציה יורדת יכולה להיות חיובית, ולהיפך.
    האינטואיציה מחיי היומיום מטעה רבים החושבים כי עולה-->חיובית ויורדת-->שלילית. 
    יש להדגים את הצירופים האפשריים גם בשילוב פונקציה קבועה חיובית/שלילית.
5. כאשר משתמשים בנוסחת המרחק, להעדיף שימוש קבוע בנוסחה ללא השורש.
6. קיימים 4 סוגים של קוים ישרים:
    א. פונקציה עולה – שיפוע חיובי.
    ב. פונקציה יורדת – שיפוע שלילי.
    ג. קו מקביל לציר ה-
x. שיפוע=0. פונקציה קבועה שמשוואתה היא "מספרy=" (ללא x במשוואה).
        *אם קו מקביל לציר
x, לכל הנקודות עליו יש אותו שיעור y.            
    ד. קו מקביל לציר ה-
x. קו זה אינו פונקציה. לקו אין שיפוע (בשפת התיכון). משוואתו היא "מספרx=" (ללא y במשוואה).
        *אם קו מקביל לציר
y, לכל הנקודות עליו יש אותו שיעור x.
6. חישוב אורכי קטעים המקבילים לצירים:
    א. אם שיעורי ה-
x שווים, נחסר את שיעורי ה-y (עליון פחות תחתון).
    ב. אם שיעורי ה-
y שווים, נחסר את שיעורי ה- x(ימני פחות שמאלי).
7
. מהו השיפוע של הישר 5y+4x=3. יש לבודד את y  (שינוי נושא נוסחה). תלמידים נוטים לחשוב שהשיפוע הוא 4
8. מציאת נקודות חיתוך עם ציר
x – נציב y=0.

9. מציאת נקודות חיתוך עם ציר y – נציב x=0.
10. מציאת נקודת החיתוך של שני ישרים – נפתור שתי משוואות בשני נעלמים (שיטת ההצבה או שיטת השוואת המקדמים).
11. אם שני ישרים מקבילים, יש להם שיפועים שווים, ולהיפך.
12. אם שני ישרים מאונכים זה לזה (ניצבים), מכפלת שיפועיהם שווה ל: 1-, ולהיפך. (שיפועים נגדיים והפכּיים).
13. כאשר מתבקשים למצוא את שיעוריה של נקודה בשרטוט, כל נקודה יכולה להשתייך לאחד או יותר מהסוגים הבאים:
      א. נקודת חיתוך עם ציר
x או נקודת חיתוך עם ציר y.
      ב. נקודת מפגש בין שני ישרים, בין ישר ופרבולה או כל שתי פונקציות אחרות.
      ג. נקודה הנמצאת על ישר המקביל לציר
x או נקודה הנמצאת על ישר המקביל לציר y.

 

14. בשאלות חישוב שטחים של משולש וטרפז, הבסיס הוא תמיד קו המקביל לציר x או לציר y או
      שהקו הוא ציר
x או ציר y בעצמו.עובדה זו מסייעת לאתר את הגובה על מנת להציב בנוסחת השטח הרצויה.
15. האם הנקודה (3,4)  נמצאת על הישר
y=2x+3 ?
      נציב
x=3 במשוואת הישר ונקבל y=9. לכן הנקודה לא נמצאת על הישר.
   
      האם הנקודה (3,9)  נמצאת על הישר
y=2x+3 ?
      נציב
x=3 במשוואת הישר ונקבל y=9. לכן הנקודה נמצאת על הישר.
 
16. 4 יח"ל : המרחק מנקודה לישר הוא אורך הגובה המורד מהנקודה אל הישר.
      5 יח"ל:  עבור הסעיף הקודם קיימת נוסחה ייעודית.
     
17. נוסחת המעגל אינה חייבת להינתן בצורתה המפורשת לפי הנוסחה. במקרים אלו
      נשתמש בהשלמה לריבוע. אאאא דוגמה.
18. האפסים של הפונקציה (או ערכי האפס של הפונקציה) הם שיעורי ה-
x בלבד של נקודות חיתוך הפונקציה עם ציר x.

19. תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה נקבעים ע"י מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x.
      הפונקציה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא מעל לציר
x, ושלילית כאשר הגרף שלה נמצא מתחת לציר x.
20. תחומי עליה וירידה של הפוקנציה נקבעים באמצעות מציאת נקודת הקודקוד של הפרבולה
      או באמצעות נקודות הקיצון של הפונקציה (חדו"א).

 

גאומטריה אנליטית ומרובעים
כשאחד מהמרובעים הבאים נתון בשאלה, בדר"כ נצטרך להשתמש בנוסחה לתכונה המיחדת אותו
מהמרובעים האחרים
נתון: מעוין. תכונה יחודית: אלכסונים מאונכים (שיפועים הפכיים ונגדיים). כל הצלעות שוות (אורך קטע).
נתון: מלבן. תכונה יחודית: כל הזוויות ישרות (שיפועים הפכיים ונגדיים). האלכסונים נחצים וגם שווים (אורך קטע).
* כמעט בכל שאלה על מקבילית/מלבן/מעוין/ריבוע שבה משורטטים האלכסונים ומסומנת  בשרטוט נקודת המפגש ביניהן -
   נצטרך להשתמש בנוסחת אמצע קטע. זאת מעבר לשימוש בתכונה הבסיסית המשותפ לכולם:
   כל זוג צלעות נגדיות –מקבילות (שיפועי הישרים שווים).

היכן נשתמש בשיפועים הפכיים ונגדיים:
1. אלכסוני הדלתון/מעוי/ריבוע מאונכים זה לזה.
2. גובה במשולש או בכל צורה אחרת.
3. זוויות המלבן/ריבוע הן זוויות ישרות
4. משיק למעגל מאונך לרדיוס.
5. אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר.
6. משולש ישר זווית (גם חוסם או חסום במעגל).
7. טרפז ישר-זווית.
8. אנך אמצעי.


היכן נשתמש בשיפועים שווים לקווים מקבילים:

1. נתונים קווים מקבילים שאינם יוצרים צורה גיאומטרית מוכרת.
2. במקבילית, מלבן, מעוין וריבוע, כל זוג צלעות נגדיות – מקבילות.
3. בסיסים של טרפז.
4. קטע אמצעים במשולש/טרפז.

היכן נשתמש בנוסחת אמצע קטע:
1. תיכון.
2. תיכון ליתר במשולש ישר-זווית.
3. קטע אמצעים במשולש/טרפז.
4. אלכסונים נחצים במקבילית, מלבן, מעוין וריבוע.
5. האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני בדלתון.
6. קטע אמצעים במשולש/טרפז.

7. אמצע קטע במעגל - מרכז המעגל הוא נקודת האמצע של הקוטר.

 

 

היכן נשתמש בנוסחת אורך קטע –

1. כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה.
2. משולש שווה שוקיים
3. משולש שווה צלעות.
4. משפט פיתגורס.
5. התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
6. אנך היוצא ממרכז המעגל למיתר, חוצה את המיתר.


 


גאומטריה של המישור - טכניקות להוכחה, בניות עזר ומשפטי עזר שימושיים

טכניקות להוכחה גיאומטרית

1. זוויות בין מקבילים (עדיפות לזוויות מתחלפות, בפרט בפרק המרובעים).
2. זוויות צמודות (זוויות צמודות לזוויות שוות – שוות גם הן).
3. זוויות קודקודיות.
4. תכונות חוצה זווית, תיכון וגובה (בדגש על משולש שווה-שוקיים).
5. חיבור/חיסור קטעים שווים.
6. חיבור/חיסור זוויות שוות.
7. כלל המעבר.
8. חפיפת משולשים.
9. משפט פיתגורס, תיכון ליתר, משולש יפה.

שלבים בחפיפת משולשים:
1. נשתמש בנתוני השאלה כדי לאתר זוויות או צלעות שוות.
2. נחפש צלעות/זוויות שוות נוספות באמצעות אחת הטכניקות שבסעיף הקודם.
3. לאחר שנמצא את הדרוש, נחליט מהו המשפט שבאמצעותו נבצע את החפיפה:
    צ.ז.צ    או    ז.צ.ז     או    צ.צ.צ    או    צ.צ.ז
4. נרשום את המשולשים החופפים לפי סדר הקודקודים המתאים.
5. נוציא את הצמב"ח או הזמב"ח הדרוש לפי מהש צריך להוכיח.

כל הטכניקות הנ"ל הנלמדות בחטיבה, מחלצות גם בבעיות מורכבות בחומר המתקדם
בנושא מעגל, פרופורציה ודמיון. לתלמידים ישנה נטיה לשכוח את הכלים הללו, כי למדו זאת מזמן.

בניות עזר מקובלות:
* כלל:
אין לייחס לבניית עזר יותר מתכונה אחת.
           על דרך החיוב: אם העברנו אאאא

שתי אפשרויות להוכיח שמרובע הוא טרפז:
א) הבסיסים מקבילים וגם השוקיים אינן מקבילות.
ב) הבסיסים מקבילים וגם אינם שווים.

אפשרויות להוכיח שטרפז הוא שווה שוקיים:
א) זוויות הבסיס שוות.
ב) השוקיים שוות.
ג) האלכסונים שווים.
ד) קיים זוג זוויות נגדיות שסכומן 1800.

 

משולשים
1. נתון: משולש שווה שוקיים.
    בניית עזר: הורדת גובה במשולש שווה-שוקיים (ולכן הוא גם תיכון וגם חוצה זווית).
1. נתון: משולש ישר-זווית.
    * במהלך השאלה הוא יכול להתגלות כמשולש יפה או שייתכן שימוש במשפט התיכון ליתר או משפט פיתגורס.
3. נתון:
AB=BC.
    * שתי הצלעות הן שוקי משולש, ולכן זהו משולש שווה-שוקיים.
    * שתי הצלעות יכולות לסייע בחפיפת משולשים, על אף שלא נתבקשנו לחפוף במפורש.
    * שני הקווים הם מיתרים באותו מעגל (נחפש זוויות היקפיות/מרכזיות).
4. נתון: קווים מקבילים.
    * עדיפות לסימון זוויות מתחלפות.
    * קו אחד יכול להיות קטע אמצעים במשולש, והשני – בסיס המשולש.
    * אם הקווים גם שווים, יתכן כי נצטרך להוכיח את קיומם של מקבילית/מלבן/מעוין/ריבוע.
       בפרט אם נתונים שני זוגות של קווים מקבילים.
    * שימוש במשפט תאלס ובהרחבותיו.
5. נתון: תיכון, אמצע קטע.
    * שימושים: קטע אמצעים במשולש, אלכסונים נחצים באחד מהמרובעים.
       אאאא
6. נתון: קוטר במעגל.
    בניית עזר: זווית הקפית הנשענת על הקוטר. לפי המשפט גודלה 900.
7. נתון: משיק למעגל.
    בניית עזר: רדיוס או קוטר לנקודת ההשקה.

    * ננסה להשתמש באחד ממשפטי המשיק (שני משיקים מאותה נקודה, זווית כלואה בין משיק למיתר,
                                                            נקודת מפגש של משיק ורדיוס).
8. נתון: שני מעגלים החותכים אחד את השני.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.
9. נתון: שני מעגלים המשיקים זה לזה.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.

 

 


8. בניות עזר בטרפז:
    א) העברת קו מקביל לאחת משוקי הטרפז, יוצרת מקבילית.
    ב) הורדת אנכים בטרפז מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת מלבן.
    ג) העברת קו מקביל לאחת משוקי טרפז שו"ש, יוצרת מקבילית ומשו"ש.
    ד) הורדת אנכים בטרפז שו"ש מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת מלבן ושני משולשים חופפים.
    * הבניות מתחייבות בפרט כאשר נתונה זווית בת 300 או  600 לשימוש בתכונות משולש יפה.
10. חישוב שטח משולש:

 

 

 



גיאומטריה

 

 משפטי עזר שימושיים, שאינם ברשימת המשפטים המפורסמת הניתנים לציטוט ללא הוכחה -
 צריך להוכיחם בבחינה, אם נעזרים בהם. למשל,
1. אלכסוני המקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים שווי שטח.
2. טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
3. לא משתמשים במשפט תלס (והרחבותיו) בטרפז עם קו מקביל לבסיסים.
    יש להעביר את אחד מהאלכסונים על מנת ליצור משולשים ואז ליישם את משפט תאלס.

גאומטריה של המישור - מעגל

 

מעגל
1. ברב השאלות, החל מהפרק על זוויות במעגל, ובפרט בפרק לימוד המשיק למעגל,
    סימון זווית עוגן והמשך הטיול על השרטוט לחישוב זוויות לפי המשפטים הידועים,
    פותר מיידית את הבעיה או מביא לפתרון של אחוזים ניכרים ממנה.
    תלמידים לא מסמנים זווית עוגן מכיוון שלא גבשו עדיין רעיון לפתרון, אך דווקא
    סימון הזווית מביא לפתרון מהיר יותר. במקרה הכי גרוע, מוחקים ובוחרים זווית אחרת.
2. כאשר נתון משיק למעגל, חייבים ליישם את אחד ממשפטי המשיק. לחפש רדיוס/קוטר,
    זוויות כלואות, מרכזיות, היקפיות וכן הלאה.

3. כאשר משתמשים בזוויות היקפית, לוודא כי אכן שני שוקיה מסתיימים בנקודות על המעגל.

4. לעתים נתון משולש חסום במעגל או משולש חוסם מעגל כחלק מתיאור הנתונים, ללא קשר לשימוש
    במשפט על מרכז המעגל כמפגש חוצי הזוויות או מפגש האנכים האמצעיים בהתאמה.
5. ישנם מקרים רבים שלא נתון במפורש "המרובע
ABCD חסום במעגל", וללא שימוש במשפט
    זה (סכום זוויות נגדיות הוא 1800) לא ניתן לפתור. במהלך ההוכחה יש לחפש בציור, ולפעמים
    מתגלה יותר ממרובע אחד שחסום באותו מעגל.

 

גאומטריה של המישור - משולשים ומרובעים

 

משולשים
1. לא קיים משפט חפיפה זווית-זווית-זווית.

 


תכונות משותפות למקבילית, מלבן, מעוין וריבוע
1. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
2. שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.
3. האלכסונים חוצים זה את זה.
4. סכום שתי זוויות סמוכות הוא 1800.
5. זוויות נגדיות שוות.
* שאלות רבות נפתרות ע"י סימון זוויות מתחלפות בין מקבילים.

תכונות ייחודיות של מרובעים:
* כשנתונה צורה זו, בדר"כ יש להסתמך בהוכחה על אחת מתכונות אלו, המבדילות אותה
   משאר הצורות (למעט ריבוע):
1. מלבן – האלכסונים שווים זה לזה. 4 זוויות ישרות.
2. מעוין – כל הצלעות שוות. אלכסונים מאונכים. האלכסונים חוצים את הזוויות.
3. טרפז שו"ש – תכונת החלוקה של האלכסונים.
4. דלתון – האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.

* אם במרובע האלכסונים שווים, הוא אינו מלבן.
* אם במרובע ישנו זוג אחד של צלעות נגדיות שוות וזוג אחר של צלעות נגדיות מקבילות, הוא אינו מקבילית.

להקפיד שהמשולש חסום במעגל ולא רק חלק ממנו.
תשומת לב לכך שגם בנושא פרופורציה ודמיון, לעתים נצטרך לחזור ולהשתמש במשפטים מהחטיבה:
משפטי חפיפה, משפט פיתגורס, התיכון ליתר משולש יפה (300-600-900).
תלמידים מוכיחים דמיון ומשתמשים בפרופורציה, כאשר אפשר למצוא אורך צלע באמצעות פיתגורס.

גאומטריה של המישור - שטחים

חישוב שטחים
1. הנוסחה לחישוב שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים היא חצי ממכפלת האלכסונים.
    הדבר נכון לגבי כל מרובע, גם אם אינו מהצורות המוכרות: דלתון, מעוין וריבוע.
2. לא תמיד יש צורך בהורדה אוטומטית גובה לחישוב שטחים. לעתים ניתן לפתור באמצעות
    משפט דמיון שטחים.

הסתברות קלאסית וחשיבה הסתברותית בחיי יום-יום

הסתברות קלאסית
ניתן לחלק את השאלות לארבעה סוגים עיקריים:
1. חיתוך ואיחוד מאורעות (כפל וחיבור הסתברויות).
    חיתוך=וגם=כפל.
    איחוד=או=חיבור.

    עבור מאורעות זרים מתקיים

  
 p(a∩b)=0
   
 p(a∩b)=p(a)+p(b)≤1

   עבור מאורעות בלתי-תלויים מתקיים

  
 p(a∩b)=p(a)*p(b)

   * לעיתים מתבקשים לפתור באמצעות שימוש באי-שוויונים:
  
p(a∩b)=p(a)+p(b)≤1
p(a∩b) ≤p(a)     
  
    p(a∩b) ≤p(b)
   
   p(a∩b) ≥p(b)- שינוי איחוד - אאאא
   
   p(a∩b) ≥p(b) שינוי איחוד - אאאא

p(a∩b)=p(a)+p(b)≤1
2. הסתברות מותנית/שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו/תלת-ממדית.
       עבור מאורעות תלויים מתקיים
  
    p(a∩b)≠p(a)*p(b)
      
p(a | b)≠p(a)

  
  איך מזהים את ההתנייה? בשאלה תופענה המלים: אם ידוע, ידוע ש..., מבין, בהינתן, בתנאי, מתוך, מ....
     נוסחת ההתברות המותנה:
p(a | b)≠ p(a∩b)/p(b).
     האות
B בנוסחה מייצגת את מרחב המדגם ה"חדש" שעליו נשאלים, כפי שבא לידי ביטוי במשפט
     לאחר אחת ממילות הקישור שהופיעו למעלה. המילה הנפוצה ביותר להתנייה מסוג זה היא "מבין".

3. תרשים עץ -  מאורעות תלויים. מרחב המדגם משתנה מניסוי לניסוי.
    איך מזהים?  תוצאת הניסוי מושפעת מתוצאת הניסו הקודם לו. קיומו של מאורע כלשהו משפיע על
    הסתברות קיומו של המאורע הבא אחריו. שאלה מייצגת: הוצאת כדורים מהכד ללא החזרה.

 

 

 

 

 


4. ברנולי -  מאורעות בלתי תלויים. מרחב המדגם נשאר זהה מניסוי לניסוי.
    איך מזהים?  תוצאת הניסוי אינה מושפעת מתוצאת הניסו הקודם לו. קיומו של מאורע כלשהו לא משפיע על
    הסתברות קיומו של המאורע הבא אחריו. שאלה מייצגת: הוצאת כדורים מהכד עם החזרה.
    נערכים
n ניסויים ומתוכם דרושים לפחות או בדיוק k הצלחות
 
   מהי ההסתברות לקבלת
k הצלחות לכל הפחות? (1) פחות (ההסתברות לקבלת k-1 הצלחות לכל היותר)
   הדוגמה הנפוצה:
      מהי ההסתברות לקבלת 1 הצלחות לכל הפחות? (1) פחות (ההסתברות לקבלת 0 הצלחות לכל היותר), כלומר
      (1) פחות (ההסתברות לקבלת
n  כשלונות )?
 

התנהגות פונקציה והקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

4. התנהגות פונקציה:
         
עליה/ירידה, חיוביות/שליליות, נקודות קיצון ונקודות קצה.

 



חזקות

חזקות

אין נוסחה עבור המקרים הבאים:
x3+x4
x3-x4

Logx5*logx6 – בדיקת הרחבה אאאא
Logx5:Logx6 – בדיקת הרחבה אאאא
0=
x0 עבור x חיובי בלבד. 00 אינו מוגדר.
1=
X1
אם
x>0, אז xy>0.

 

חפיפת משולשים
חקירת משווואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה

חקירת משוואות

מעלה שנייה עם פרמטרים:
פתור:
(m-2)x2-5x(m+2)-2m+3=0

הפתרון ע"י הפעלה של נוסחת השורשים. תלמידים מתחילים לחשב ללא צורך מתי דלתא גדולה מאפס
או שווה לאפס ועד כל מיני ואריאציות.

חקירת משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד.
כאשר שואלים מהו הפתרון, קרי מהו
x, נציג את הפתרון לאחר צמצום השבר, אם אפשר,
אבל כאשר שואלים מתי יש פתרון יחיד/אינסוף פתרונות/אין פתרון, לא נצמצם את השבר
על מנת שנוכל לבחון את המקרים 0/0 ו(מכנה) חלקי 0.

ניסוחים שקולים לאותה שאלה:
עבור אילו ערכי
x מתקיים    mx2-2mx+7>0 ?
עבור אילו ערכי
x הפונקציה y=mx2-2mx+7 חיובית?
עבור אילו ערכי
x ערכי הפונקציה y=mx2-2mx+7 חיוביים?
עבור אילו ערכי
x אי-השוויון הבא נכון תמיד: mx2-2mx+7>0 ?
עבור אילו ערכי
x גרף הפונקציה  y=mx2-2mx+7  נמצא כולו מעל לציר ה-x ?


ניסוחים שקולים לאותה שאלה:
עבור אילו ערכי
x מתקיים    mx2-2mx+7<0 ?
עבור אילו ערכי
x הפונקציה y=mx2-2mx+7 שלילית?
עבור אילו ערכי
x ערכי הפונקציה mx2-2mx+7 שליליים?
עבור אילו ערכי
x אי-השוויון הבא נכון תמיד: mx2-2mx+7<0 ?
עבור אילו ערכי
x גרף הפונקציה  y=mx2-2mx+7  נמצא כולו מתחת לציר ה-x ?

חשבון אינטגרלי

חישוב אינטגרלים
1. לאחר הפעלת נוסחת האינטגרציה, אין מקום לרשום עוד dx.
2. שיטת ההצבה -
    פונקציות פולינומיאליות: הביטוי מהמעלה הגבוהה יסומן באות
t.
    פונקציות עם שורש: הביטוי מתחת לשורש יסומן באות
t.

חשבון דיפרנציאלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - נושאי שאלות לבחינת הבגרות במתמטיקה
 

 

 

ההרחבה לכל סעיף תינתן בהמשך ברשומה נפרדת לכל נושא

1.
חקירת פונקציה

          1. תחום הגדרה: ביטויים עם מכנה, שורש או פונקציות לוגריתמיות.
          2.
נקודות חיתוך עם הצירים.
             
X=0- חיתוך עם ציר Y.
              
Y=0- חיתוך עם ציר X
          3.
נקודות קיצון - השוואת הנגזרת ל-0. (מקרה חריג: נקודת קיצון על אסימפטוטה אנכית)

    בפונקציות התחומות בגבולות מסוימים, גם נקודות הקצה נחשבות נקודות קיצון.
          4.
סיווג נקודות קיצון לפי MIN או  MAX ע"י טבלת ערכים או נגזרת שנייה.
          5.
תחומי עלייה וירידה (לפי הטבלה בסעיף הקודם).
          6.
תחומי חיוביות ושליליות של הפונקציה (הפונקציה נמצאת מעל ציר X או מתחתיו).

7. נקודות פיתול.
          8.
נקודות חיתוך של הישר Y=Kעם הפונקציה.
          9.
בדיקת עלייה או ירידה של הפונקציה בנקודה ספציפית ע"י הצבת ערך
              
ה-Xשל הנקודה בנגזרת.
          10.
אסימפטוטה אפקית, אסימפטוטה אנכית ואסימפטוטה משופעת (פירוט ברשומה נפרדת).
              
מציאת נקודת "חור" של הפונקציה או נקודת אי-רציפות סליקה.
          11.
שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.


 

 

 

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

תחום ההגדרה של פונקציה
12. בדיקת תחומי הגדרה נהוגה בפונקציות בהן מופיע נעלם במכנה, פונקציות לוגריתמיות,
    פונקציות עם שורשים. יש לפרט את המקרים בהם בודקים "גדול מאפס" או "גדול שווה לאפס".


תחומי עליה וירידה
תחומי עליה וירידה של הפוקנציה נקבעים באמצעות מציאת נקודת הקודקוד של הפרבולה
או באמצעות נקודות הקיצון של הפונקציה (חדו"א).


מצא נקודה בה הפונקציה y=5x2-x+3 יורדת?
הנגזרת היא
y’=10x-1 . אם נציב x=0 אז y’=-1 ומכיוון שהנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת בנקודה זו.
מצא נקודה בה הפונקציה
y=5x2-x+3 עולה?
הנגזרת היא
y’=10x-1 . אם נציב x=2 אז y’=19 ומכיוון שהנגזרת חיובית, הפונקציה עולה בנקודה זו.

תחומי חיוביות ושליליות
תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה נקבעים ע"י מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר
x.
הפונקציה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא מעל לציר
x, ושלילית כאשר הגרף שלה נמצא מתחת לציר x.

* אין קשר בין עליה/ירידה של פונקציה לבין חיוביות/שליליות.
   פונקציה יכולה להיות חיובית ויורדת, שלילית ועולה, חיובי ועולה, שלילית ויורדת.
   מובן שפונקציה קבועה יכולה להיות חיובית או שלילית או לא חיובית ולא שלילית.

שיפוע, נגזרת ומשיק
1. לא כל פונקצית מכפלה מחייבת נגזרת מכפלה. למשל, בפונקציה
y=5*(7x2+3x+6) יש קבוע,
    ובפונקצית שורש המוכפלת באיבר
x, ניתן להכניס אותו מתחת לשורש ולגזור כפונקציית שורש.

2. קו ישר יכול להשיק לפונקציה ביותר מנקודת השקה אחת. תלמידים מקובעים לנקודת השקה אחת בלבד,
    בשל הדוגמה הקלאסית של השקה לפרבולה.
3. אם שיפוע הפונקציה
f(x)  בנקודה x=2  שווה לשיפוע הפונקציה g(x)  בנקודה x=3, נפתור את המשוואה:
   
f ’(x=2) = g ’(x=3) . לשתי הפונקציות יש משיק משותף בנקודה זו, ולכן השיפוע שווה בשני המקרים.

 



4. אם שיפוע הפונקציה f(x)  בנקודה x=2  שווה לשיפוע הפונקציה f(x)  בנקודה x=3, נפתור את המשוואה:
   
f ’(x=2) = f ’(x=3) . בניגוד לסעיף 3, אין לפונקציה משיק משותף אלא שני משיקים שונים לשתי הנקודות השונות.

 

5. הוכח שלפונקציה y= x3+5  אין משיק ששיפועו 3.
    הנגזרת היא
y’=3x2, ומאחר שביטוי זה, המייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה מסוימת, אינו יכול להיות שלילי
    ובפרט אינו שווה לערך 3-, הרי לא קיימת נקודה על הפונקציה שהמשיק לה הוא בעל שיפוע 3.
    הוכח שהנגזרת אינה מתאפסת.
    כדי להוכיח זאת, נגזור את הפונקציה וננסה למצוא נקודות קיצון בדרך המקובלת. בסופו של דבר
    נגיע לפתרון משוואה כמו
x2+6=0  או כל משוואה אחרת שאין לה פתרון. כלומר, אין נקודת קיצון והוכחנו את הדרוש.

6. האם הישר y=6x+2 משיק לפונקציה g(x)=x2+3x בנקודה כלשהי?
     פתרון:
     שיפוע הקו הישר הוא
6, והשאלה היא בעצם האם קיים x שהוא פתרון  למשוואה g ’(x=?) = 6 ?
     לאחר ההצבה הדרושה נקבל 
2x+3=6 ולכן הישר משיק לפונקציה בנקודה x=1.

7. האם הישר
y=-6x+2 משיק לפונקציה g(x)=x3+3x בנקודה כלשהי?
     פתרון:
     שיפוע הקו הישר הוא
-6, והשאלה היא בעצם האם קיים x שהוא פתרון  למשוואה g ’(x=?) = -6 ?
     לאחר ההצבה הדרושה נקבל 
3x2+3=-6. הביטוי באגף שמאל תמיד חיובי ואינו יכול להיות שווה לאגף ימין.
     לפיכך, הישר הנתון אינו משיק לאף נקודה על הפונקציה.

ניסוחים שקולים:
 נתונה הפונקציה 
g(x)=x+3 :
 מצא את
y  עבורו x=2.
 מצא את
g(x)  עבורו x=2.
 מצא את ערך הפונקציה עבור
x=2.
 מצא את
f(2)

 

 

 

 

 

 


נקודות קיצון
1. בחקירת פונקציה טריגונומטרית או פונקצית שורש, יש למצוא את ערכי הנקודות בקצה תחום ההגדרה,
    גם אם לא מתבקשים לעשות כן במפורש, על מנת לשרטט את גרף הפונקציה בהמשך.
    הדבר נכון לגבי כל פונקציה המוגבלת בתחום סגור ע"י נקודות קצה.
    נקודות הקצה נחשבות כנקודות קיצון לכל דבר.
2. נקודת קיצון מקומית/בקצה יכולה להיות נקודת מינימום מוחלט או נקודת מקסימום מוחלט . אאאא- ניסוח פשוט.
    כל נקודת קיצון מוחלט היא בפרט קיצון מקומי, אבל נקודת קיצון מקומי אינה בהכרח נקודת קיצון מוחלט,
    משום שייתכנו ערכים גבוהים/נמוכים ממנה של נקודות קיצון אחרות או של נקודות קיצון בקצה.
3. הוכח שלפונקציה אין נקודות קיצון.
    הוכח שהנגזרת אינה מתאפסת.
    כדי להוכיח זאת, נגזור את הפונקציה וננסה למצוא נקודות קיצון בדרך המקובלת. בסופו של דבר
    נגיע לפתרון משוואה כמו
x2+6=0  או כל משוואה אחרת שאין לה פתרון. כלומר, אין נקודת קיצון והוכחנו את הדרוש.
4. הוכח שהפונקציה עולה תמיד
    הוכח שהפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

    נפעל בהתאם לסעיף 3 ולכללים: אם הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה. אם הנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת.
    כדי להוכיח את הדרוש לא נשווה את הנגזרת ל-0 אלא נוכיח שהיא תמיד חיובית. קל לראות שהביטוי המייצג את
    הנגזרת חיובי תמיד: 
x2+6, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

    במקרה בו היינו צריכים להוכיח שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה, הביטוי המתקבל עבור הנגזרת
    היה מוכח כבעל ערך שלילי לכל
x, לדוגמה:   -x2-6 .


אסימפטוטות מקבילות לצירים
1. אסימפטוטה אפקית יכולה להיחתך ע"י גרף הפונקציה, בניגוד לאסימפטוטה אנכית.
    לפונקציה יכולה להיות יותר מאסימפטוטה אנכית/אפקית אחת.


שרטוט גרף הפונקציה
1. שרטוט גרף הפונקציה – הצעד הראשון הוא לקווקו ולמחוק את התחום בו הפונקציה אינה מוגדרת.
    לאחר מכן שרטוט האסימפטוטות, מיקום נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם הצירים, ולבסוף שרטוט הגרף.


חקירת פונקציה טריגונומטרית
1. בחקירת פונקציה טריגונומטרית, ציון הנקודות במהלך החקירה מתבצע באמצעות רדיאנים. יש ללמד את
    נוסחת ההמרה מערך מספרי עשרוני לרדיאן.

 

חקירת פונקצית שורש
1. בחקירת פונקצית שורש, לנמק מדוע הנגזרת השנייה רק עבור המונה מספקת את הנדרש לקביעת תחומי עליה/ירידה.


חקירת פונקציה מעריכית
1. בחישוב גבולות בפונקציות מעריכיות, יש להפריד לשני מקים: x  שואף לאינסוף ו- x  שואף למינוס אינסוף.***
2. כדי להוכיח שהפונקציה
y=ex+e-2x תמיד חיובית, ניעזר בעובדה שהביטוי  ex חיובי לכל x.
     אין צורך להיעזר במקרה זה בנגזרת.

חקירת פונקציה לוגריתמית
1. אם נדרשים לחקור את הפונקציה
y=lnx2 , אין אפשרות להשתמש בכלל הידוע ולחקור את הפונקציה y=2lnx,
    משום שכלל זה תקף רק במידה ו-
x חיובי. שימוש לא נכון זה יוביל אותנו לתחום הגדרה שגוי ולחקירה לא נכונה.
 

מקרים מיוחדים
1. פונקציה עם חור – להסביר באמצעות שתי דוגמאות (להחליף מונה במכנה) את המקרה של חור בגרף הפונקציה
    לעומת מקרה של אסימפטוטה אנכית.
2. נקודת קיצון על אסימפטוטה אנכית – לפונקציה
y=(-x2+6)/(x-1)2  יש אסימפטוטה אנכית x=1
  
כשננסה למצוא את נקודות הקיצון, נקבל קיצון בנקודה x=1, ואין לנו אפשרות להציב זאת ולגלות את ערך ה-y.
   כלומר, נקודת הקיצון קיימת אבל סמויה מן העין ולא תבוא לידי ביטוי בשרטוט גרף הפונקציה.
   אבל מכיוון שיש נקודת קיצון על האסימפטוטה, הגרף משמאל לאסימפטוטה ומימין לה  - ישנה את מגמתו:

   במקרה זה אנו מגיעים אל האסימפטוטה מצד שמאל כאשר אנו עולים אאאא ולכן כאשר נעבור את האסימפטוטה
   (מבלי לחתוך אותה, כמובן) לצד ימין, הפונקציה כבר לא תהיה עולה אלא יורדת. שינוי המגמה שלא חל במקרה רגיל,
   מתחייב כאן בשל נקודת הקיצון הסמויה על האסימפטוטה.
 
  
  


נקודות פיתול
1. כאשר מתבקשים למצוא נקודות פיתול בלבד ללא ציון תחומי קעירות/קמירות, אפשר, למעט מקרים נדירים,
    לחסוך את הטבלה עבור
y’’  ובמקום זה לוודא את התנאי ההכרחי לנקודת פיתול y’’’<>0.

בעיות קיצון
1. בעיות קיצון/ בעית מינימום-מקסימום -
    השאלה אינה מסתיימת כאשר מוצאים את ערך
x. לפעמים x  מייצג את רוחב המלבן, והתלמיד מתבקש למצוא את האורך
    ולאחר מכן את השטח. מעבר לתשובה המלאה, חובה להוכיח את המינמליות/מקסימליות באמצעות נגזרת שנייה או טבלת
y’.

2. חשוב להדגיש כי אם הנגזרת מתאפסת עבור x=3, נקודה זו רק חשודה כקיצון בשלב זה.


שאלות עם ניסוחים שקולים
עבור אילו ערכי k , חותך הישר y=k  את הפונקצי בנקודה אחת, שתי נקודות ויותר או שלא חותך בכלל.

פתרון: ברב המקרים לא נצטרך לפתור את המשוואה
y=k, משום שסעיף זה נשאל לאחר שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
          הישר האמור אינו חותך את הפונקציה כאשר הוא נמצא מתחת לנקודת המינימום המוחלט או
          מעל לנקודת המקסימום המוחלט. שאר המקרים תלויים בפונקציה אותה יש לחקור.


 

חקירת פונקציה:

1. אסימפטוטה אפקית יכולה להיחתך ע"י גרף הפונקציה, בניגוד לאסימפטוטה אנכית.
    לפונקציה יכולה להיות יותר מאסימפטוטה אנכית/אפקית אחת.
2. בדיקת תחומי הגדרה נהוגה בפונקציות בהן מופיע נעלם במכנה, פונקציות לוגריתמיות,
    פונקציות עם שורשים. יש לפרט את המקרים בהם בודקים "גדול מאפס" או "גדול שווה לאפס".
3. בחקירת פונקציה טריגונומטרית או פונקצית שורש, יש למצוא את ערכי הנקודות בקצה תחום ההגדרה,
    גם אם לא מתבקשים לעשות כן במפורש, על מנת לשרטט את גרף הפונקציה בהמשך.
    הדבר נכון לגבי כל פונקציה המוגבלת בתחום סגור ע"י נקודות קצה.
    נקודות הקצה נחשבות כנקודות קיצון לכל דבר.
4. שרטוט גרף הפונקציה – הצעד הראשון הוא לקווקו ולמחוק את התחום בו הפונקציה אינה מוגדרת.
    לאחר מכן שרטוט האסימפטוטות, מיקום נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם הצירים, ולבסוף שרטוט הגרף.
5. בחקירת פונקציה טריגונומטרית, ציון הנקודות במהלך החקירה מתבצע באמצעות רדיאנים. יש ללמד את
    נוסחת ההמרה מערך מספרי עשרוני לרדיאן.

6. בחקירת פונקצית שורש, לנמק מדוע הנגזרת השנייה רק עבור המונה מספקת את הנדרש לקביעת תחומי עליה/ירידה.

7. כאשר מתבקשים למצוא נקודות פיתול בלבד ללא ציון תחומי קעירות/קמירות, אפשר, למעט מקרים נדירים,
    לחסוך את הטבלה עבור
y’’  ובמקום זה לוודא את התנאי ההכרחי לנקודת פיתול y’’’<>0
.
8. פונקציה עם חור – להסביר באמצעות שתי דוגמאות (להחליף מונה במכנה) את המקרה של חור בגרף הפונקציה
    לעומת מקרה של אסימפטוטה אנכית.
9. לא כל פונקצית מכפלה מחייבת נגזרת מכפלה. למשל, בפונקציה
y=5*(7x2+3x+6) יש קבוע,
    ובפונקצית שורש המוכפלת באיבר
x, ניתן להכניס אותו מתחת לשורש ולגזור כפונקציית שורש.

10. בחישוב גבולות בפונקציות מעריכיות, יש להפריד לשני מקים: x  שואף לאינסוף ו- x  שואף למינוס אינסוף.***
11. בעיות קיצון/ בעית מינימום-מקסימום -
      השאלה אינה מסתיימת כאשר מוצאים את ערך
x. לפעמים x  מייצג את רוחב המלבן, והתלמיד מתבקש למצוא את האורך
      ולאחר מכן את השטח. מעבר לתשובה המלאה, חובה להוכיח את המינמליות/מקסימליות באמצעות נגזרת שנייה או טבלת
y’.
12.
חשוב להדגיש כי אם הנגזרת מתאפסת עבור נקודה זו רק חשודה כקיצון בשלב זה, עד לבדיקת תחומי עליה וירידה.
13. קו ישר יכול להשיק חפונקציה ביותר מנקודת השקה אחת. תלמידים מקובעים לנקודת השקה אחת בלבד,
      בשל הדוגמה הקלאסית של השקה לפרבולה.

חשבון דיפרנציאלי - שאלות עם פרמטרים

 

  

2. חקירת פונקציה עם פרמטרים -

          1.  נקודת קיצון -  מצא את ערך הפרמטר a במקרים הבאים:
               לפונקציה  y=3ax2-6x+5   יש קיצון בנקודה x=1.
               לפונקציה 
y=3ax2-6x+5   יש קיצון בנקודה (1,2).
               שיפוע המשיק לפונקציה 
y=3ax2-6x+5   בנקודה  (1,2) הוא 0.

                פתרון: 
y’(x=1)=0.
                    
          2.  שיפוע המשיק - מצא את ערך הפרמטר a במקרים הבאים:
               שיפוע המשיק לפונקציה  y=3ax2-6x+5   בנקודה x=3 הוא 12.
               שיפוע המשיק לפונקציה  y=3ax2-6x+5   בנקודה (3,14) הוא 12.

                פתרון: 
y’(x=3)=12.

                    

          3.  אסימפטוטה אנכית - מצא את ערך הפרמטר a במקרים הבאים:
               לפונקציה y=(16x2-3)/(ax2-8)   יש אסימפטוטה אנכית x=2

              פתרון: נשווה את המכנה ל-0 ונציב בו
x=2   ax2-8=0  

                    

          4.  אסימפטוטה אפקית - מצא את ערך הפרמטר a במקרים הבאים:
               לפונקציה y=(16x2-3)/(ax2-8)   יש אסימפטוטה אפקית y=8

              
פתרון: מכיוון שהאסימפטוטה קיימת ואינה y=0, ברור שהמעלה הגבוהה
                         במונה שווה למעלה הגבוהה במכנה.  
16/a=8.
 
               לפונקציה
y=1-[(6x2-23)/(ax2)]   יש אסימפטוטה אפקית y=2
               הפתרון זהה לסעיף הקודם, אבל במצב הנוכחי המשוואה  6/a=2 תתן פתרון שגוי.
               חייבים ליצור מכנה משותף באגף ימין ולכתוב את הפונקציה בצורת שבר (מונה/מכנה).
               לבסוף נקבל את המשוואה הנוכנה: 
(a-6)/a=2.

    
     5.  מצא את ערכי הפרמטרים a  ו-  b במקרים הבאים:
               לפונקציה y=5bx2+7ax3  יש נקודת קיצון ששיעוריה (2,6).
               הפונקציה
y=5bx2+7ax3  עוברת בנקודה  (2,6) ושיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אאאא  (להחליף פונקציה).

               פתרון: מנתון זה אפשר לקבל שתי משוואות:
                         לפי סעיף 1:         
y’(x=2)=0
                         נציב את שיעורי נקודת הקיצון בפונקציה המקורית: 
6=5b∙22+7a∙23
 
 
              וכעת נותר לפתור שתי משוואות בשני נעלמים.
                          

 
 
    

טריגונומטריה - זהויות ומשוואות טריגונומטריות

זהויות - זווית כפולה
1.
sin(2a)=2sinacosa.
   טעות נפוצה:
sin(4a)=4sinacosa.
   דגשים: הסבר משמעות הקבוע 2 וחצאי הזוויות. כנ"ל לגבי
cos(2a).

טיפים להוכחת זהויות ופתרון משוואות טריגונומטריות

טריגונומטריה במישור ובמרחב

 

1. חובה לרשום באיזה משולש אנו מיישמים את החישוב. למשל: משפט הסינוסים במשולש ABC.

2. גם כאשר נראה כי משפט הסינוסים או משפט הקוסינוסים יותיר אותנו עם משוואה אחת בשני נעלמים,
    יש לקחת בחשבון, בפרט בשאלות חישוב יחסים, שנעלם יכול להצטמצם.  לעתים לתמידים אפילו לא כותבים
    את המשוואה האחת הדרושה משום שישנם שני נעלמים.

לוגריתמים
משוואות ואי-שוויונות
ZZZZZ - התאמת סימונים לפורמט הנכון

 

 

פתרון מערכת "וגם"

פתרון מערכת "או"

ביטוי שני

ביטוי ראשון

3

X כל

X>3

X<7

X<3

X<7

X<3

X<7

X אף

X>3 או X>7

X<3

X<7

X=7

X כל

X<=7

X>=7

X אף

X כל

X<7

X>=7

X אף

X< >7 (שונה)

X<7

X>7

3

X כל

X>3

X<=7

X>3

X כל

X כל

X>3

X אף

X>3

X אף

X>3

X כל

X כל

X כל

X כל

X אף

X אף

X אף

X אף

X אף

X כל

X אף

X כל

 

 

 

 

0 או 4

X כל

X>2 או X>4

05

 

 

 

 

סדרות (חשבונית, הנדסית, אינסופית, כללית ונסיגה)

סדרות

1. כדי להוכיח קיומה של סדרה חשבונית/הנדסית, יש להוכיח באמצעות האיבר הכללי
    ולא באמצעות דוגמה מספרית של הנתונים.
2. סדרה כללית/נסיגה יכולה להיות סדרה חשבונית, הנדסית או אך אחת משתיהן.
    כאשר מתבקשים לחשב סכומים, לרב יש להוכיח את קיומה של סדרה הנדסית/חשבונית
    על מנת שנוכל להשתמש בנוסחת הסכום.
3. השוויון " קבוע
an+2-an= " נכון עבור האיברים במקומות הזוגיים וגם במקומות האי-זוגיים.
4. סדרות מעורבות – יש להחליט מי תהיה סדרת העוגן ההתחלתית (חשבונית/הנדסית) ואיך נייצג את ההמרה שלה
    לסדרה מהסוג השני (חשבונית/הנדסית) באמצעות הנתונים.
5. סוגי חישובים:
    סכום
n האיברים אחרונים.
    סכום האיברים במקומות הזוגיים/אי-זוגיים.
    סכום האיברים החיוביים/שליליים.
6. סכום שלושה איברים סמוכים: 
an+an+1+an+2
    אבל בשאלות מסוימות נח יותר להשתמש בנוסחה: an-1+an+an+1 שמאפשרת לקזז נעלמים לאחר הצבת הנתונים.
5. האיבר האמצעי:

    בסדרה בה מספר אי-זוגי של איברים, n, האיבר האמצעי נמצא במקום (n+1)/2.
    בסדרה בה מספר זוגי של איברים, n, שני האיברים האמצעיים  נמצאים  במקומות n/2    ו-(n/2)+1 .

6. סכום הריבועים של שני איברים סמוכים בסדרה הוא:  (an)2+(an+1)2
6. ריבוע הסכום של שני איברים סמוכים בסדרה הוא:  (an+an+1)2


    

 

 

 

 

 

סטטיסטיקה
פונקציות
1. תחומי חיוביות ותחומי שליליות של פונקציה

2. תחומי עלייה ותחומי ירידה של פונקציה

3. פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית
פירוק לגורמים ונוסחאות הכפל המקוצר

1. הוצאת גורם משותף.     

 X2-5x = x(x-5)
    
X3-5x2-x = x(x2-5x-1)

 

 

 

2. שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר.   

X2-10x+25 = (x-5)(x-5)=(x-5)2
X2+10x+25 = (x+5)(x+5)=(x+5)2
נוסחת הפרש הריבועים      x2-25 = (x-5)(x+5)

* אין פירוק לביטוי x2-25  
  תלמידי 5 יח"ל יכולים לפרק באמצעות מספרים מרוכבים.

 

 

3. פירוק לפי קבוצות.

   

X2-5x+7x-35 = x(x-5)+7(x-5) = (x-5)(x+7)

 

 

 

4. פירוק לפי טרינום.

X2-7x+10 = x2-2x-5x+10 = x(x-2)-5(x-2) = (x-5)(x-2)

 

* העדיפות הראשונה ניתנת להוצאת גורם משותף
   27x2-75 = 3(9x2-25) = 3(3x-5)(3x+5)        Z


פסילת תשובות

מילות מפתח שמעידות על נושאים בהם ש לבדוק פסילת תשובות:

1. הנקודה נמצאת ברביע הראשון/שני....
2. משוואות אי-רציונליות.
3. בעיות מילוליות שהנפתרות ע"י משוואה ריבועית. תשובות שליליות נפסלות.

 

הרשמה לקבלת עדכונים
בניית אתרים קידום אתרים בגוגל אפיון אתרים