פתרונות מספרי הלימוד במתמטיקה לתרגילים בגיאומטריה מספרי הלימוד (בני גורן, יואל גבע) ומהבגרויות במתמטיקה

פתרונות מספרי הלימוד במתמטיקה
 (בני גורן, יואל גבע, אהרון אספיס)
לתרגילים בגיאומטריה


סיכומים ופתרונות לשאלות בגיאומטריה/הנדסת המישור
 מבחינות הבגרות במתמטיקה (שאלונים 804/806)
ומספרי הלימוד בחטיבה העליונה


   מאגר מת"ל במכללת קיי - באר-שבע 
תוכן העניינים


הנחיות ודגשים חשובים לניווט בעמוד
פתרונות לספרי הלימוד של בני גורן/ שאלות בגיאומטריה
פתרונות לספרי הלימוד של אהרון אספיס/ שאלות בגיאומטריה
פתרונות לספרי הלימוד של יואל גבע/ שאלות בגיאומטריה
פתרונות לשאלות בגיאומטריה בשאלון הבגרות 804 במתמטיקה ל-4 יח"ל
פתרונות לשאלות בגיאומטריה בשאלון הבגרות 806 במתמטיקה ל-5 יח"ל
פתרונות מלאים לשאלות גיאומטריה בבחינת הבגרות במתמטיקה/ עפר ילין
סיכומים בגיאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה/ מאיר בכור
רשימת המשפטים בגיאומטריה ואינדקס מילות מפתח למשפטים
משפטים ישרים ומשפטים הפוכים
טכניקות הוכחה לפרק המשולשים
תכונות מרובעים ואיך מוכיחים שמרובע הוא...
הנחיות לפתרון שאלות בפרק המעגל
בניות עזר נפוצות והשימוש בהן
תכונת אמצע הקטע בבעיות גאומטריות
משפטי עזר
משמעות משפט המנוסח באופן "אם ורק אם" (אמ"מ)
הנחיות לפתרון בעיות מילוליות בגיאומטריה
קישורים - אתרים בנושאי גיאומטריה/הנדסת המישור
קישורים - אתרי עזר לבחינת הבגרות במתמטיקה


לחצו למעבר


הנחיות ודגשים חשובים לניווט בעמוד




1. הפתרונות המלאים של השאלות בגיאומטריה מספרי הלימוד ומבחינות הבגרות
    במתמטיקה מציגים את דרך ההוכחה בפורמט טקסט בלבד, לרוב צעד-אחד-צעד,
    ואינם מהווים הוכחה שלמה ומלאה בכתיבה בפורמלית המקובלת. המטרה היא שהתלמיד
    יתנסה בעצמו בכתיבת הפתרון, כאשר הדרך והרעיון להוכחת הדרוש נתונים לו.

    הפתרונות ניתנים לשאלות קשות וקשות במיוחד עם כוכבית או כאלו המצריכות 
    בניות עזר, אם כי נפתרו גם שאלות בסיסיות או לחלופין, כאלו המצריכות
    הסבר מורכב תוך שימוש במספר משפטים במהלך ההוכחה.

2. את קבצי הפתרון המבוקשים יש לשמור על שולחן העבודה,
    ולאחר פתיחתם ליישר את הטקסט לצד ימין באמצעות 
    Ctrl+Shift בצד ימין במקלדת. כאשר פותחים את הקובץ
    ישירות ללא שמירה, הטקסט מיושר לשמאל והקריאה אינה נוחה.
 
     
3. העמוד נראה במיטבו בגלישה דרך גוגל כרום.




פתרונות לספרי הלימוד של בני גורן/ שאלות בגיאומטריה
מתמטיקה (4 יחידות לימוד) - חלק ב'-1, שאלון 804
הנדסה חלק ב'/ בני גורן - תרגילים לכיתה י'
הנדסה חלק ב'/ בני גורן - תרגילים לכיתה י"א
פתרונות לספרי הלימוד של אהרון אספיס/ שאלות בגיאומטריה
גאומטריה של המישור, חלק ב'/ אהרון אספיס - תרגילים לכיתה י'
פתרונות לספרי הלימוד של יואל גבע/ שאלות בגיאומטריה

מתמטיקה - שאלונים 804 ו-806 (כיתה י'), 4 ו-5 יח"ל - כרך א'/ יואל גבע | אריק דז'לטי
סיכומים בגיאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה/ מאיר בכור
 

 

 



ראשי פרקים של הסיכום בגיאומטריה 

א. עצות כלליות והדגשים חשובים.
ב. עקרונות במשפטי חפיפה ודמיון.

 

משפטים בגיאומטריה – נקודות חשובות לתשומת לב.
סוגי זוויות בין ישרים מקבילים.
משולשים – משפטים שחשוב לזכור במיוחד.
מרובעים – משפטים נבחרים וטבלת סיכום.

1. כללי.
2. תכונות המקבילית.
3. תכונות המלבן.
4. תכונות המעויין.
5. תכונות הריבוע.
6. הטרפז.

 

המעגל – משפטים נבחרים.

שטחים – משפטים נבחרים.
משפט פיתגורס ושימושיו.
פרופורציה ודמיון – משפטים נבחרים.
פרופורציה במשולש ישר זווית – משפטים.
פרופורציה במעגל – משפטים.


רשימת המשפטים בגיאומטריה ואינדקס מילות מפתח למשפטים



תת-נושא

מספרי המשפטים לפי רשימת משרד החינוך

אי-שוויונות במשולש ובמעגל

5

10

11

20

66

 

 

 

 

 

 

 

זוויות (יסוד)

1

2

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

חוצה-זווית

6

7

8

21

34

47

48

49

81

 

 

 

גובה/אנך/900

6

7

9

21

35

36

55

67

68

73

74

77

78

82

98א

103

 

 

 

 

 

 

 

 

תיכון

6

8

9

21

45

46

86

87

98ג

 

 

 

אנך אמצעי

6

9

21

51

52

54

67

68

82

 

 

 

משולש שווה שוקיים

3

4

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

משולש ישר-זווית

86

87

88

89

102

103

 

 

 

 

 

 

משפט פיתגורס

84

85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

חפיפת משולשים

17

18

19

20

 

 

 

 

 

 

 

 

ישרים מקבילים

14

15

16

22

23

24

25

31

43

44

 

 

מקבילית

26

27

28

29

30

31

34

36

38

 

 

 

מלבן

37

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מעוין

33

34

35

36

 

 

 

 

 

 

 

 

דלתון

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

טרפז

43

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

טרפז שווה שוקיים

39

40

41

42

 

 

 

 

 

 

 

 

אלכסונים

21

28

32

33

34

35

36

37

38

41

42

 

קטע אמצעים במשולש

14

15

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

קטע אמצעים בטרפז

43

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופוציה - משפט תאלס

90

91

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופוציה - משפט חוצה זווית

93

94

98ב

 

 

 

 

 

 

 

 

 

משפטי דמיון

95

96

97

98

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופורציה במעגל (משיק וחותך)

99

100

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

נקודות מפגש

45

49

54

55

 

 

 

 

 

 

 

 

מעגל - מיתרים

62

63

64

65

66

67

68

70

72

79

99

 

זוויות היקפיות

69

70

71

72

73

74

79

 

 

 

 

 

זוויות מרכזיות

61

62

67

69

 

 

 

 

 

 

 

 

קשתות

61

63

67

69

70

71

75

76

 

 

 

 

קוטר

73

74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

רדיוס

77

78

98ה

98ו

 

 

 

 

 

 

 

 

מרכז המעגל

49

54

60

64

65

66

67

68

81

82

 

 

משיק למעגל

77

78

79

80

81

83

101

 

 

 

 

 

מעגל חוסם מצולע

53

54

56

58

98ו

 

 

 

 

 

 

 

מעגל חסום במצולע

50

57

59

98ו

 

 

 

 

 

 

 

 

מצולע קמור

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



משפטים ישרים ומשפטים הפוכים


משפט ישר

משפט הפוך

הערות

6

7,8,9

 

10

11

 

14

15

 

25

22,23,24

 

26

29

 

27

30

 

28

32

 

33

34

לא היפוך מדויק

37

38

היפוך אסוציטיבי

35

36

 

39

40

 

41

42

 

43

44

לא היפוך מדויק

47

48

 

51

52

 

56

56

 

57

57

 

58

59

 

50

53

לא היפוך מדויק

61

61

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

62

62

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

63

63

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

64

65

 

67

68

 

70

71

קשר מעגלי, תרתי משמע: 70,71,72

73

74

 

77

78

 

84

85

 

86

87

 

88

89

 

90

92

 

93

94

 



טכניקות הוכחה לפרק המשולשים


1. זוויות בין מקבילים (עדיפות לזוויות מתחלפות, בפרט בפרק המרובעים).
2. זוויות צמודות (זוויות צמודות לזוויות שוות – שוות גם הן).
3. זוויות קודקודיות.
4. תכונות חוצה זווית, תיכון וגובה (בדגש על משולש שווה-שוקיים).
5. חיבור/חיסור קטעים שווים.
6. חיבור/חיסור זוויות שוות.
7. כלל המעבר.
8. חפיפת משולשים.
9. משפט פיתגורס, תיכון ליתר, משולש יפה.

שלבים בחפיפת משולשים:
1. נשתמש בנתוני השאלה כדי לאתר זוויות או צלעות שוות.
2. נחפש צלעות/זוויות שוות נוספות באמצעות אחת הטכניקות שבסעיף הקודם.
3. לאחר שנמצא את הדרוש, נחליט מהו המשפט שבאמצעותו נבצע את החפיפה:
    צ.ז.צ    או    ז.צ.ז     או    צ.צ.צ    או    צ.צ.ז 
4. נרשום את המשולשים החופפים לפי סדר הקודקודים המתאים.
5. נוציא את הצמב"ח או הזמב"ח הדרוש לפי מהש צריך להוכיח.


תכונות מרובעים ואיך מוכיחים שמרובע הוא...
תכונות משותפות למקבילית, מלבן, מעוין וריבוע:
1. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
2. שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.
3. האלכסונים חוצים זה את זה.
4. סכום שתי זוויות סמוכות הוא 1800.
5. זוויות נגדיות שוות.
* שאלות רבות נפתרות ע"י סימון זוויות מתחלפות בין מקבילים.

תכונות ייחודיות של מרובעים:
* כשנתון אחד מהמרובעים, בדר"כ יש להסתמך בהוכחה על אחת מתכונות אלו, המבדילות אותה
   משאר הצורות (למעט ריבוע):
1. מלבן – האלכסונים שווים זה לזה. 4 זוויות ישרות.
2. מעוין – כל הצלעות שוות. אלכסונים מאונכים. האלכסונים חוצים את הזוויות.
3. טרפז שו"ש – תכונת החלוקה של האלכסונים.
4. דלתון – האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.


איך מוכיחים שמרובע הוא....+תכונות אופייניות ?
הנחיות לפתרון שאלות בפרק המעגל

מעגל - הנחיות כלליות:

1. ברב השאלות, החל מהפרק על זוויות במעגל, ובפרט בפרק לימוד המשיק למעגל,
    סימון זווית עוגן והמשך הטיול על השרטוט לחישוב זוויות לפי המשפטים הידועים,
    פותר מיידית את הבעיה או מביא לפתרון של אחוזים ניכרים ממנה.
    תלמידים לא מסמנים זווית עוגן מכיוון שלא גבשו עדיין רעיון לפתרון, אך דווקא 
    סימון הזווית מביא לפתרון מהיר יותר. במקרה הכי גרוע, מוחקים ובוחרים זווית אחרת.
2. כאשר נתון משיק למעגל, חייבים ליישם את אחד ממשפטי המשיק. לחפש רדיוס/קוטר,
    זוויות כלואות, מרכזיות, היקפיות וכן הלאה.

3. כאשר משתמשים בזוויות היקפית, לוודא כי אכן שתי שוקיה מסתיימות בנקודות קצה על המעגל.

4. לעתים נתון משולש חסום במעגל או משולש חוסם מעגל כחלק מתיאור הנתונים, ללא קשר לשימוש 
    במשפט על מרכז המעגל כמפגש חוצי הזוויות או מפגש האנכים האמצעיים בהתאמה.
5. ישנם מקרים רבים שלא נתון במפורש "המרובע 
ABCD חסום במעגל", וללא שימוש במשפט
    זה (סכום זוויות נגדיות הוא 1800) לא ניתן לפתור. במהלך ההוכחה יש לחפש בשרטוט, ולפעמים
    מתגלה יותר ממרובע אחד שחסום באותו מעגל.


בניות עזר נפוצות והשימוש בהן


בניות עזר מקובלות:
* כלל: 
אין לייחס לבניית עזר יותר מתכונה אחת.
           על דרך החיוב: אם העברנו גובה במשולש, לא נוכל
           לומר שהגובה הוא גם חוצה זווית, אלא אם נוכיח זאת.
           למשל, אם נוכיח שאותו משולש הוא משולש שווה שוקיים.
 

משולשים
1. נתון: משולש שווה שוקיים.
    בניית עזר: הורדת גובה במשולש שווה-שוקיים (ולכן הוא גם תיכון וגם חוצה זווית).

2. נתון: משולש ישר-זווית.
    * במהלך השאלה הוא יכול להתגלות כמשולש יפה או שייתכן שימוש במשפט
       התיכון ליתר או משפט פיתגורס.

3. נתון: 
AB=BC.
    * שתי הצלעות הן שוקי משולש, ולכן זהו משולש שווה-שוקיים.
    * שתי הצלעות יכולות לסייע בחפיפת משולשים, על אף שלא נתבקשנו לחפוף במפורש.
    * שני הקווים הם מיתרים באותו מעגל (נחפש זוויות היקפיות/מרכזיות).

4. נתון: קווים מקבילים.
    * עדיפות לסימון זוויות מתחלפות.
    * קו אחד יכול להיות קטע אמצעים במשולש, והשני – בסיס המשולש.
    * אם הקווים גם שווים, יתכן כי נצטרך להוכיח את קיומם של מקבילית/מלבן/מעוין/ריבוע.
       בפרט אם נתונים שני זוגות של קווים מקבילים.
    * שימוש במשפט תאלס ובהרחבותיו. 

5. נתון: תיכון, אמצע קטע.
    * שימושים: קטע אמצעים במשולש, אלכסונים נחצים באחד מהמרובעים.

6. נתון: קוטר במעגל.
    בניית עזר: זווית הקפית הנשענת על הקוטר. לפי המשפט גודלה 900.

7. נתון: משיק למעגל.
    בניית עזר: רדיוס או קוטר לנקודת ההשקה.

    * ננסה להשתמש באחד ממשפטי המשיק (שני משיקים מאותה נקודה,
       זווית כלואה בין משיק למיתר, נקודת מפגש של משיק ורדיוס).

8. נתון: שני מעגלים החותכים אחד את השני.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.

9. נתון: שני מעגלים המשיקים זה לזה.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.
 


בניות עזר בטרפז:
    א) העברת קו מקביל לאחת משוקי הטרפז, יוצרת מקבילית.
    ב) הורדת אנכים בטרפז מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת מלבן. 
    ג) העברת קו מקביל לאחת משוקי טרפז שו"ש, יוצרת מקבילית ומשו"ש.
    ד) הורדת אנכים בטרפז שו"ש מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת
        מלבן ושני משולשים חופפים.
    * הבניות מתחייבות בפרט כאשר נתונה זווית בת 300 או  600 לשם
       שימוש בתכונות משולש יפה.
 


תכונת אמצע הקטע בבעיות גאומטריות

כאשר הנתונים בבעיה גיאומטרית מצביעים על אמצע/י קטע/ים בצורות גיאומטריות מסוימות,
ניתן להשתמש ישירות במשפטים הייעודיים בנושא זה.
היכן אפשר לפגוש את הנתונים הללו ובאילו סוגי שאלות וצורות גיאומטריות ניתן להשתמש בהם?

1. 
השימוש הכי נפוץ הוא תיכון במשולש. התיכון חוצה את הצלע שמול הקודקוד ממנו הוא יוצא.
    במרבית השאלות לא נאמר במפורש שהתיכון "נמצא" והפותר מתבקש להגיע אל המסקנה

     העוסקת באמצע הקטע ע"י שימוש במשפטים נוספים הקשורים לצורה הגיאומטרית הנתונה בשאלה.

2. 
אמצע היתר במשולש ישר זווית מרמז על משפט התיכון ליתר.

3. 
אנך אמצעי במשולש רגיל או משולש שווה שוקיים ממלא שני תפקידים: תיכון+גובה.
    
הגובה/חוצה זווית היוצא מזווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון לבסיס.
    
הגובה/חוצה זווית היוצא מכל קודקוד במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון.

4. 
קטע אמצעים במשולש  - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
    
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן צלעות משולש שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

5. 
קטע אמצעים בטרפז - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
    
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן שוקי טרפז שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

6. בצורות הבאות: מקבילית, מלבן, מעויין וריבוע:
    האלכסונים חוצים זה את זה, קרי: נקודת מפגש האלכסונים היא אמצע קטע של כל אלכסון.
    
בדלתון, רק האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו.
    
האלכסון המשני אינו חוצה את האלכסון הראשי.


7. אמצע קטע במעגל - השימוש הבסיסי: מרכז המעגל הוא אמצע הקטע של הקוטר.
                               
כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה.

8. 
אנך היוצא ממרכז המעגל למיתר, חוצה את המיתר.
    
אם מרכז המעגל הוא Oוהאנך OAמאונך למיתר BCאז Aאמצע קטע ולכן BA=AC.

9. 
שטחים - התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
    
לכן, נתון על אמצע קטע בשאלה העוסקת בשטחים, יכול לחייב תיכון כבניית עזר,
   
ושימוש במשפט שהוזכר.

משפטי עזר
 במידה שמשתמשים במשפטים אלו, שאינם ברשימת המשפטים הניתנים לציטוט ללא הוכחה - 
 יש להוכיחם:

1. אלכסוני המקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים שווי שטח.
2. טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
*. אין משפט תלס בטרפז -
    כאשר נתון טרפז עם קו מקביל לבסיסים, יש להעביר את אחד מהאלכסונים
    על מנת ליצור משולשים ואז ליישם את משפט תאלס והרחבותיו.

משמעות משפט המנוסח באופן "אם ורק אם" (אמ"מ)
המשפטים הבאים ברשימת משפטי הגיאומטריה של משרד החינוך מנוסחים
תוך שימוש במינוח "אם ורק אם":  56, 57, 61, 62, 63.

מהי המשמעות של מינוח זה? למעשה, השימוש ב"אם ורק אם" 
מאפשר לכלול באותו היגד את המשפט הישר ואת המשפט ההפוך,
כפי שניתן לקראות בהדגמות ובשרטוטים למשפטים אלו בעמוד זה.

נמחיש באמצעות דוגמה פשוטה:
א. אם ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים, אז יורד גשם.
ב. אם יורד גשם, אז ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים.

את שני המשפטים הללו נוכל לרשום כמשפט אחד המכיל את שני התנאים,
 וזאת באמצעות שימוש ב"אם ורק אם":
"יורד גשם אם ורק אם ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים".

גם את שני המשפטים הבאים:
א. אם רהיט נקרא שולחן, אז יש לו ארבע רגליים.
ב. אם יש לרהיט ארבע רגליים, אז הוא נקרא שולחן.

נוכל לרשום כמשפט אחד המכיל את שני התנאים, וזאת באמצעות שימוש ב"אם ורק אם":
"רהיט נקרא שולחן אם ורק אם יש לו ארבע רגליים".

אך במקרה זה נשים לב שהמשפט תקף, אם כי אינו אמיתי במציאות, שכן יתכן רהיט
שיש לו ארבע רגליים, והוא כיסא (אינו נקרא שולחן).

הנחיות לפתרון בעיות מילוליות בגיאומטריה
בעיות מילוליות גאומטריות

 


1. אם רוחב מלבן הוא x ושטחו 60, אז אורך המלבן הוא 60/x.
2. אם רוחב מלבן הוא 
x והיקפו 60, אז אורך המלבן הוא (60-2x)/2.
3. אם נתון כי שטח צורה גאומטרית הוא 60, בדר"כ נתון גודל צלע נוספת, ולכן יש 
    להפעיל את נוסחת השטח הרצויה למציאת צלע נוספת. למשל, נתון שטח משולש
    ואורך הבסיס. נציב את הנתונים ונמצא את הגובה.
4. אם שטח הריבוע הוא 
3/5 משטח המלבן, אז שטח הריבוע קטן משטח המלבן, והמשוואה היא:
    (שטח המלבן)*3/5 = שטח הריבוע.
    ניסוח נוסף באחוזים: שטח הריבוע מהווה 60% משטח המלבן.
5. נתונים: 
x=30   ,y=50 . איזה אחוז מהווה x מ-y ?
    
x/y=30/50=0.6 . נכפיל פי 100 ונקבל 60%.

  
משפטים שימושיים לפתרון בעיות מילוליות גאומטריות:

1. אלכסוני המלבן מחלקים אותו ל-4 משולשים שווי שוקיים.
2. במשולש שווה שוקיים, הגובה היוצא מזווית הראש הוא גם תיכון וגם חוצה זווית.
3. במשולש ישר זווית, הצלע הארוכה ביותר היא היתר.

קישורים - אתרים בנושאי גיאומטריה/הנדסת המישור
קישורים - אתרי עזר לבחינת הבגרות במתמטיקה




        
                                                                                            
        


הרשמה לקבלת עדכונים
בניית אתרים קידום אתרים בגוגל אפיון אתרים