משפטים בגיאומטריה - הדגמה ויזואלית למשפטים ופתרונות מלאים לשאלות בגיאומטריה מבגרויות במתמטיקה בשאלונים 804+806

משפטים בגיאומטריה ופתרונות לספרי הלימוד
לקראת בחינת הבגרות במתמטיקה


הדגמה ויזואלית, הנחיות והסברים של המשפטים
בגיאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה

לפי רשימת משרד החינוך

סיכומים ופתרונות לשאלות בגיאומטריה/הנדסת המישור
 מבחינות הבגרות במתמטיקה (שאלונים 804/806)
ומספרי הלימוד בחטיבה העליונה

כל השרטוטים הוכנו באמצעות תוכנת "פיתגורס"
   מאגר מת"ל במכללת קיי - באר-שבע 
תוכן העניינים



A mathematician is a person who can find analogies between theorems
a better mathematician is one who can see analogies between proofs
and the best 
mathematician can notice analogies between theories. 


One can imagine that the ultimate mathematician 
is one
who can see analogies between analogies.

-Stefan Banach



הנחיות ודגשים חשובים לניווט בעמוד
תוכנות העולם המתמטי האינטראקטיבי/ ד"ר יוסף דלין
רשימת המשפטים בגיאומטריה לפי נושאים ולפי מספור + אינדקס מילות מפתח למשפטים
משפטים ישרים ומשפטים הפוכים
1. ישרים וזוויות: זוויות צמודות/קודקודיות/בין ישרים מקבילים
2. משולשים: משולש שווה שוקיים.
3. משפטי חפיפת משולשים
4. משולש ישר זווית ומשפט פיתגורס
5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים
6. מרובעים: דלתון, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז וטרפז שווה שוקיים
7. חישובי שטחים - מקבילית, משולש, מעוין, טרפז, עיגול
8. פרופורציה: משפט תאלס ומשפט חוצה זווית
9. דמיון: משפטי דמיון משולשים, יחסי צלעות, היקפים ושטחים
10. מעגל: מיתרים וקשתות, זוויות היקפיות/מרכזיות
11. משיק למעגל
12. מעגל חוסם משולש/מרובע ומעגל חסום במשולש/מרובע
13. פרופורציה במעגל, משיקים וחותכים
14. מצולעים קמורים ומצולעים משוכללים
פתרונות מלאים לשאלות בגיאומטריה בשאלון הבגרות 804 במתמטיקה ל-4 יח"ל
פתרונות מלאים לשאלות בגיאומטריה בשאלון הבגרות 806 במתמטיקה ל-5 יח"ל
פתרונות לספרי הלימוד של בני גורן/ שאלות בגיאומטריה
פתרונות לספרי הלימוד של אהרון אספיס/ שאלות בגיאומטריה
פתרונות לספרי הלימוד של יואל גבע/ שאלות בגיאומטריה
סיכומים בגיאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה/ מאיר בכור
פתרונות מלאים לשאלות גיאומטריה בבחינת הבגרות במתמטיקה/ עפר ילין
טכניקות הוכחה לפרק המשולשים
תכונות מרובעים ואיך מוכיחים שמרובע הוא...
הנחיות לפתרון שאלות בפרק המעגל
בניות עזר נפוצות והשימוש בהן
תכונת אמצע הקטע בבעיות גאומטריות
משפטי עזר
משמעות משפט המנוסח באופן "אם ורק אם" (אמ"מ)
הנחיות לפתרון בעיות מילוליות בגיאומטריה
שילוב המחשב בהוראה ובחינוך המתמטי
קישורים - אתרים בנושאי גיאומטריה/הנדסת המישור
קישורים - אתרי עזר לבחינת הבגרות במתמטיקה
הנחיות ודגשים חשובים לניווט בעמוד

1. המשפטים ממוינים לפי נושאים, וליד כל משפט מופיע המספר כפי שניתן
    ברשימה המקורית של משרד החינוך.

2. רק המשפטים המסומנים בצבע רקע צהוב או בצבע רקע תכול הם הם המשפטים שניתן
    להשתמש בהם ללא צורך להוכיחם. 

3. בחלק קטן מהשרטוטים הודגשו רק הנתונים החשובים לפי המשפט, על מנת למנוע עומס מידע.

4. הפתרונות המלאים של השאלות בגיאומטריה מספרי הלימוד ומבחינות הבגרות
    במתמטיקה מציגים את דרך ההוכחה בפורמט טקסט בלבד, לרוב צעד-אחד-צעד,
    ואינם מהווים הוכחה שלמה ומלאה בכתיבה בפורמלית המקובלת. המטרה היא שהתלמיד
    יתנסה בעצמו בכתיבת הפתרון, כאשר הדרך והרעיון להוכחת הדרוש נתונים לו.

    הפתרונות ניתנים לשאלות קשות וקשות במיוחד עם כוכבית או כאלו המצריכות 
    בניות עזר, אם כי נפתרו גם שאלות בסיסיות או לחלופין, כאלו המצריכות
    הסבר מורכב תוך שימוש במספר משפטים במהלך ההוכחה.

5. את קבצי הפתרון המבוקשים יש לשמור על שולחן העבודה,
    ולאחר פתיחתם ליישר את הטקסט לצד ימין באמצעות 
    Ctrl+Shift בצד ימין במקלדת. כאשר פותחים את הקובץ
    ישירות ללא שמירה, הטקסט מיושר לשמאל והקריאה אינה נוחה.
 
     
6. העמוד נראה במיטבו בגלישה דרך גוגל כרום.




תוכנות העולם המתמטי האינטראקטיבי/ ד"ר יוסף דלין

רוב תודות לד"ר יוסף דלין ולגברת לובה קוריצקי

על מתן הרשות לשימוש בצילומי מסך מתוכנת "פיתגורס".

כל השרטוטים הוכנו באמצעות תוכנת "פיתגורס" של ד"ר דלין, שהיא ידידותית למשתמש וקלה להפעלה.
תוכנה זו מהווה חלק 
מתוכנות "העולם המתמטי האינטראקטיבי", סדרת תוכנות מתמטיות להתנסות, לחקירה, 
לחשיבה ולהבנה, פרי-פיתוחו של ד"ר יוסף דלין, המתמחה בשילוב המחשב בחינוך המתמטי. 


 
 



תוכנות לחטיבה העליונה
מתמטיX
פיתגורס
גיאומטריה אנליטית (חתכים קוניים)
טריגונומטריה
רשימת המשפטים בגיאומטריה לפי נושאים ולפי מספור + אינדקס מילות מפתח למשפטים



תת-נושא

מספרי המשפטים לפי רשימת משרד החינוך

אי-שוויונות במשולש ובמעגל

5

10

11

20

66

 

 

 

 

 

 

 

זוויות (יסוד)

1

2

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

חוצה-זווית

6

7

8

21

34

47

48

49

81

 

 

 

גובה/אנך/900

6

7

9

21

35

36

55

67

68

73

74

77

78

82

98א

103

 

 

 

 

 

 

 

 

תיכון

6

8

9

21

45

46

86

87

98ג

 

 

 

אנך אמצעי

6

9

21

51

52

54

67

68

82

 

 

 

משולש שווה שוקיים

3

4

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

משולש ישר-זווית

86

87

88

89

102

103

 

 

 

 

 

 

משפט פיתגורס

84

85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

חפיפת משולשים

17

18

19

20

 

 

 

 

 

 

 

 

ישרים מקבילים

14

15

16

22

23

24

25

31

43

44

 

 

מקבילית

26

27

28

29

30

31

34

36

38

 

 

 

מלבן

37

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מעוין

33

34

35

36

 

 

 

 

 

 

 

 

דלתון

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

טרפז

43

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

טרפז שווה שוקיים

39

40

41

42

 

 

 

 

 

 

 

 

אלכסונים

21

28

32

33

34

35

36

37

38

41

42

 

קטע אמצעים במשולש

14

15

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

קטע אמצעים בטרפז

43

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופוציה - משפט תאלס

90

91

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופוציה - משפט חוצה זווית

93

94

98ב

 

 

 

 

 

 

 

 

 

משפטי דמיון

95

96

97

98

 

 

 

 

 

 

 

 

פרופורציה במעגל (משיק וחותך)

99

100

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

נקודות מפגש

45

49

54

55

 

 

 

 

 

 

 

 

מעגל - מיתרים

62

63

64

65

66

67

68

70

72

79

99

 

זוויות היקפיות

69

70

71

72

73

74

79

 

 

 

 

 

זוויות מרכזיות

61

62

67

69

 

 

 

 

 

 

 

 

קשתות

61

63

67

69

70

71

75

76

 

 

 

 

קוטר

73

74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

רדיוס

77

78

98ה

98ו

 

 

 

 

 

 

 

 

מרכז המעגל

49

54

60

64

65

66

67

68

81

82

 

 

משיק למעגל

77

78

79

80

81

83

101

 

 

 

 

 

מעגל חוסם מצולע

53

54

56

58

98ו

 

 

 

 

 

 

 

מעגל חסום במצולע

50

57

59

98ו

 

 

 

 

 

 

 

 

מצולע קמור

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה/ אתר מפמ"ר מתמטיקה, משרד החינוך
רשימת משפטים בגיאומטריה לפי נ-ו-ש-א-י-ם וסדר הלימוד
קישור לאתר מפמ"ר מתמטיקה - קובץ מעודכן של רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה
משפטים ישרים ומשפטים הפוכים


משפט ישר

משפט הפוך

הערות

6

7,8,9

 

10

11

 

14

15

 

25

22,23,24

 

26

29

 

27

30

 

28

32

 

33

34

לא היפוך מדויק

37

38

היפוך אסוציטיבי

35

36

 

39

40

 

41

42

 

43

44

לא היפוך מדויק

47

48

 

51

52

 

56

56

 

57

57

 

58

59

 

50

53

לא היפוך מדויק

61

61

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

62

62

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

63

63

קשר מעגלי, תרתי משמע: 61,62,63

64

65

 

67

68

 

70

71

קשר מעגלי, תרתי משמע: 70,71,72

73

74

 

77

78

 

84

85

 

86

87

 

88

89

 

90

92

 

93

94

 



1. ישרים וזוויות: זוויות צמודות/קודקודיות/בין ישרים מקבילים
1.    זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-1800.

           הנתונים: 
            הזוויות AFG ו -GFB הן זוויות צמודות.
 
            
           המסקנה: 
            סכום הזוויות הצמודות הוא 1800.



דגשים:
            הזווית AFB היא זווית שטוחה.

            הנתון "הקטע FB הוא המשך של הקטע AF" מצביע על
            קיום זוויות צמודות, בפרט בחישובי זוויות בפרק המרובעים.


2.    זוויות קודקודיות שוות זו לזו.

           הנתונים: 
            הזוויות CEB ו -AED הן זוויות קודקודיות.
            הזוויות CEA ו -BED הן זוויות קודקודיות.
 
            
           המסקנה: 
            הזוויות CEB ו -AED שוות זו לזו.
            הזוויות CEA ו -BED שוות זו לזו.



דגשים:
           שני הישרים, AB ו-CD, יוצרים שתי זוויות שטוחות.


22.    שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות,
          אז שני הישרים מקבילים.
           הנתונים: 
            הישר GH חותך את שני הישרים EG ו-HN.
            הזוויות המתאימות,  זווית EGH וזווית NHC - שוות זו לזו.
                 
           המסקנה: 
            הישר EG מקביל לישר HN, כלומר EG || HN..
  


דגשים:
           קיומן של זוויות מתאימות אינו מותנה בקיומם של ישרים מקבילים. כלומר,
            יתכן מקרה בו שתי זוויות מתאימות דווקא אינן שוות,
            ולכן הישרים הנתונים לא יהיו מקבילים.


23.    שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות,
          אז שני הישרים מקבילים.
           הנתונים: 
            הישר GH חותך את שני הישרים EG ו-HB.
            הזוויות המתחלפות,  זווית EGH וזווית GHB - שוות זו לזו.
                 
           המסקנה: 
            הישר EG מקביל לישר HB, כלומר EG || HB.



דגשים:
           קיומן של זוויות מתחלפות אינו מותנה בקיומם של ישרים מקבילים. כלומר, 
            יתכן מקרה בו שתי זוויות מתחלפות דווקא אינן שוות,
            ולכן הישרים הנתונים לא יהיו מקבילים.

24.    שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוויות חד-צדדיות הוא 1800,
         אז שני הישרים מקבילים.
           הנתונים: 
            הישר GH חותך את שני הישרים EG ו-HF.
            הזוויות החד-צדדיות,  זווית EGH וזווית FHG - שוות זו לזו.
                 
           המסקנה: 
            הישר EG מקביל לישר HF, כלומר EG || HF.

 

דגשים:
            קיומן של זוויות חד-צדדיות אינו מותנה בקיומם של ישרים מקבילים. כלומר, 
            יתכן מקרה בו שתי זוויות חד-צדדיות דווקא אינן שוות,
             ולכן הישרים הנתונים לא יהיו מקבילים.
           
   
            ברוב רובם של המקרים נעסוק בזוויות חד-צדדיות פנימיות, כפי שהדגמנו,
            בפרט כאשר נחשב זוויות בפרק המרובעים,
            אך ייתכנו מקרים בהן נחשב זוויות חד-צדדיות חיצוניות. למשל:

    הנתונים: 
            הישר GH חותך את שני הישרים EG ו-HF.
            הזוויות החד-צדדיות,  זווית BGE וזווית FHC - שוות זו לזו.
                 
    המסקנה: 
            הישר EG מקביל לישר HF, כלומר EG || HF.

   



25.    אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי, אז:
         א. כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
           הנתונים: 
            הישרים AB ו-CD מקבילים ונחתכים על ידי הישר השלישי  EF.
             
           המסקנה: 
            כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.

בשרטוט זה ישנם ארבעה זוגות של זוויות מתאימות שוות.
כל זוג צבוע בצבע אחר: סגול, כתום, ירוק ואדום.




         ב. כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.
         הנתונים: 
            הישרים AB ו-CD מקבילים ונחתכים על ידי הישר השלישי  EF.
             
           המסקנה: 
            כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.

בשרטוט זה ישנם ארבעה זוגות של זוויות מתחלפות שוות.
כל זוג צבוע בצבע אחר: סגול, כתום, ירוק ואדום.





         ג.  סכום כל זוויות חד-צדדיות הוא
1800.
           הנתונים: 
            הישרים AB ו-CD מקבילים ונחתכים על ידי הישר השלישי  EF.
             
           המסקנה: 
            סכום כל שתי זוויות חד-צדדיות הוא 1800.

בשרטוט זה ישנם שני זוגות של זוויות חד-צדדיות פנימיות (צבעים ירוק וכתום),
ושני זוגות של זוויות חד-צדדיות חיצוניות (צבעים סגול ואדום).
סכום כל זוג הוא 1800

.




דגשים:
           ר' משפט


סיווג זוויות
2. משולשים: משולש שווה שוקיים.

3.    במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.

           הנתונים: 
            הזווית A שווה לזווית B.
 
            
           המסקנה: 
            הצלע BC (המונחת מול הזווית A) שווה
            לצלע AC (המונחת מול הזווית B).



דגשים:
           ר' משפט 10.



4.    במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.

           הנתונים: 
            המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
 
            
           המסקנה: 
             זוויות הבסיס של המשולש שוות זו לזו, כלומר:
             הזווית A שווה לזווית B.



דגשים:
           ר' משפט


5.    סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
 
            
           המסקנה: 
              סכום שתי צלעות גדול מן הצלע השלישית.
              נדגים את שלושת הצירופים האפשריים:
               AB+AC > BC  -->  5+7 > 3
               AB+BC > AC  -->  5+3 > 7
               AC+BC > AB  -->  7+3 > 5




דגשים:
           ר' משפט


6.    במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.

           הנתונים: 
            המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
 
            
           המסקנה: 
             אם CD הוא חוצה זווית הראש C,
              אז CD הוא גם התיכון לצלע AB וגם הגובה לצלע AB.

             אם CD הוא התיכון לצלע AB,
              אז CD הוא גם הגובה לצלע AB וגם חוצה זווית הראש C.

             אם CD הוא הגובה לצלע AB,
               אז CD הוא חוצה זווית הראש C וגם התיכון לצלע AB.

             במילים אחרות:
             כאשר CD ממלא רק את אחד מהתפקידים (גובה, חוצה זווית הראש, תיכון),
             יוצא מכך שהוא למעשה ממלא את שלושתם.  



דגשים:
           ר' משפט


7.    אם במשולש חוצה זווית הוא גובה, אז המשולש הוא שווה שוקיים.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
            הקטע CD הוא חוצה זווית וגם גובה.
 
            
           המסקנה: 
             המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.



דגשים:
           רק בדיעבד אנו יודעים כי CD הוא חוצה זווית הראש.


8.    אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
            הקטע CD הוא חוצה זווית וגם תיכון.
 
            
           המסקנה: 
             המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.



דגשים:
           רק בדיעבד אנו יודעים כי CD הוא חוצה זווית הראש.


9.    אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
            הקטע CD הוא גובה וגם תיכון.
 
            
           המסקנה: 
             המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.



דגשים:
           רק בדיעבד אנו יודעים כי CD הוא הגובה לבסיס המשולש שווה השוקיים.


10.    במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זווית גדולה יותר.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
            בין הצלעות מתקיים אי-השוויון הבא: 
CB > BA > AC.            
           המסקנה: 
             בין הזוויות מתקיים אי-השוויון הבא:  A>C>B.



דגשים:
             המשולש אינו שווה צלעות, משום שבמקרה זה כל הצלעות שוות, ואז המשפט מתקיים "על ריק".


11.    במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
            
בין הזוויות מתקיים אי-השוויון הבא:  A>C>B.
            
           המסקנה: 
            בין הצלעות מתקיים אי-השוויון הבא: CB > BA > AC.            



דגשים:
             המשולש אינו שווה צלעות, משום שבמקרה זה כל הזוויות שוות, ואז המשפט מתקיים "על ריק".


12.    סכום הזוויות של משולש הוא 1800.

           הנתונים: 
            משולש ABC.
 
            
           המסקנה: 
              סכום שלוש הזוויות של המשולש  הוא  1800
              
כלומר,  A + B +C =1800.



דגשים:
           ר' משפט


13.    זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

           הנתונים: 
            הזווית CAD היא זווית חיצונית למשולש ABC.
 
            
           המסקנה: 
              הזווית CAD שווה לסכום שתי הזוויות שאינן צמודות לה,
              כלומר:  CBA + ACB  = CAD .
         


דגשים:
           לכל זווית במשולש ישנן שתי זווית חיצוניות,
            ולכן לכל משולש ישנן 6 זוויות חיצוניות.


סיווג משולשים
3. משפטי חפיפת משולשים

17.    משפט חפיפה צ.ז.צ

           הנתונים: 
             במשולש ABC ובמשולש DEF מתקיימים השוויונות הבאים:
             צ. AC=DF
             ז.  זווית F = זווית C
             צ. CB=FE
             
             כלומר, בשני המשולשים ישנן שתי צלעות השוות זו לזו,
             וגם הזווית הכלואה ביניהן שווה.
              
 
            
           המסקנה: 
             משולש ABC חופף למשולש DEF.



דגשים:
           ר' משפט 

18.    משפט חפיפה ז.צ.ז

           הנתונים: 
             במשולש ABC ובמשולש DEF מתקיימים השוויונות הבאים:
             ז. זווית D = זווית A
             צ. AC=DF     
             ז. זווית F = זווית C
             
             כלומר, בשני המשולשים ישנן שתי זוויות השוות זו לזו,
             וגם הצלע הכלואה ביניהן שווה.

            המסקנה: 
             משולש ABC חופף למשולש DEF.  



דגשים:
             לא קיים משפט חפיפה ז.ז.ז.
             במקרה שהנתונים מצביעים על שתי זוויות וצלע שאינה כלואה ביניהן, 
             נחשב את הזווית השלישית ואז נשתמש במשפט החפיפה ז.צ.ז.

19.    משפט חפיפה צ.צ.צ
           הנתונים: 
             במשולש ABC ובמשולש DEF מתקיימים השוויונות הבאים:
             צ. AC=DF     
             צ. CB=FE     
             צ. BA=AD     
             
             כלומר, בשני המשולשים שלוש הצלעות שוות זו לזו.

            המסקנה: 
             משולש ABC חופף למשולש DEF.  



דגשים:
           ר' משפט


20.    משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים.
           הנתונים: 
             במשולש ABC הצלע הגדולה היא AB.
             במשולש DEF הצלע הגדולה היא DE.
             בשני המשולשים מתקיימים השוויונות הבאים:
             צ. AC=DF     
             צ. AB=DE     
             צ. זווית C = זווית F     
             
             כלומר, בשני המשולשים שוות שתי צלעות,
              והזווית שמול הצלע הגדלה מבין השתיים.

            המסקנה: 
             משולש ABC חופף למשולש DEF.  



דגשים:
           המשפט מכונה גם "משפט חפיפה רביעי", 
            ושימושי בעיקר בשאלות בהן נתון משולש קהה-זווית
            או משולש ישר-זווית, שכן במקרים אלו ידועה זהותן של
            הזווית הגדולה והצלע הגדולה.


4. משולש ישר זווית ומשפט פיתגורס

84.  משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
 
           הנתונים: 
           משולש ישר-זווית ABC.
 
           המסקנה: 
           סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:
            (הניצב בריבוע) + (הניצב בריבוע) = (היתר בריבוע),
            AB2+BC2=AC2

.



  


דגשים 
           המשפט שימושי בהחלט גם בנושאים מתקדמים (פרופורציה ודמיון),  
           שכן לעיתים שימוש בו יכול להיות קל יותר מאשר שימוש ביחסי פרופורציה
            בין משולשים דומים.


85.  משפט פיתגורס ההפוך: משולש בו סכום ריבועי שתי הצלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.
 
           הנתונים: 
           משולש ABC.
            
סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:
            (הניצב בריבוע) + (הניצב בריבוע) = (היתר בריבוע),
            AB2+BC2=AC2

.             
           המסקנה: 
            משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.




דגשים 
           ר' משפט.


86.    במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

           הנתונים: 
            משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.
            AD תיכון ליתר BC (כלומר, BD=CD).
 
            
           המסקנה: 
             התיכון AD שווה למחצית היתר, כלומר:
             AD=BD=DC.



דגשים:
           אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900
           התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים.

.

87.    משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.
           הנתונים: 
             במשולש ABC, התיכון AD לצלע BC, שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה.
             כלומר, AD=BD=DC.
      
         המסקנה: 
             משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.




דגשים:
            אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900
            התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים.

.

88.    אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.
           הנתונים: 
            משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.
             גודלה של הזווית החדה  A הוא 30.  
      
           המסקנה: 
             הניצב מול הזווית החדה שגודלה 300, שווה למחצית היתר.
             כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC.





דגשים:
           ר' משפט

89.    אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30.
           הנתונים: 
             משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.
             הניצב BC שווה למחצית היתר AC. 
             כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC.

           המסקנה: 
             גודלה של הזווית החדה מול ניצב זה, זווית A, הוא 300.  


דגשים:
           ר' משפט

102.  במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

           
הנתונים: 
            משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.
 
           המסקנה: 
            1. הניצב AC הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל
                 CD, היטל ניצב זה על היתר.
                  AC2=BC*CD

            2. הניצב AB הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל 
                 BD, היטל ניצב זה על היתר.
                   AB2=BC*BD   



דגשים 
           ר' משפט

103.  הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

           הנתונים: 
            משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.
 
           המסקנה: 
            1. הניצב AC הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל 
                 CD, היטל ניצב זה על היתר.
                  AC2=BC*CD

            2. הניצב AB הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל 
                 BD, היטל ניצב זה על היתר.
                   AB2=BC*BD   


דגשים 
           ר' משפט
5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים
14.    קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

           הנתונים: 
            הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC, כלומר,
            CD=DB וגם CE=EA.  
             
           המסקנה: 
             הקטע DE מקביל לצלע השלישית BA (אותה אינו חותך) ושווה
             למחצית אורכה, כלומר: DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר:
             DE*2 = BA




דגשים:
           על מנת להגדיר את DE כקטע אמצעים,
           מספיקה העובדה שקטע זה חוצה את הצלעות CA ו-CB.

           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצים, כך שכל קטע מקביל
            לצלע אחרת של המשולש.

15.    ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השניה, חוצה את הצלע השלישית.

           הנתונים: 
            הקו הישר DE חוצה צלע אחת במשולש ABC. כלומר, CD=DB.
            כמו כן, קו זה מקביל לצלע BA. כלומר, DE || BA. 
           המסקנה: 
             הקו הישר DE חוצה גם את הצלע השלישית.
             כלומר, CE=EA.




דגשים:
           פועל יוצא מכך הוא המסקנה כי הקו הישר DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצים, כך שכל קטע מקביל 
            לצלע אחרת של המשולש.


16.    קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.
           הנתונים: 
            קצותיו של הקטע DE נמצאים על CB ו-CA, שתי צלעות המשולש ABC.
            כמו כן, DE || BA ובנוסף DE שווה למחצית הצלע AB.
            כלומר, 
DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר: DE*2 = BA.

           המסקנה: 
             הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.




דגשים:
           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצים, כך שכל קטע מקביל 
            לצלע אחרת של המשולש.


45.
   
שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
           הנתונים: 
            במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG
            לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.
              
           המסקנה: 
            נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת התיכונים.



דגשים 
           ר' משפט

46.   נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 , 
         כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר.

           הנתונים: 
            במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG
            לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.
              
           המסקנה: 
            כל תיכון מחולק ביחס 1:2, כלומר: חלקו הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר.
            נדגים זאת באמצעות הנתונים בשרטוט:
            התיכון CG מחולק לשני קטעים: CF=4 ואילו FG=2.
            התיכון AD מחולק לשני קטעים: AF=10 ואילו FD=5.
            התיכון BE מחולק לשני קטעים: BF=6 ואילו FE=3.


דגשים 
           ר' משפט


47.   כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
           הנתונים: 
            הישר AD הוא חוצה זווית CAB.
              
           המסקנה: 
            הנקודה E על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
            כלומר, GE=EF.






דגשים 
           ר' משפט

48.   אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית.
              
           הנתונים: 
            הנקודה E על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
            כלומר, GE=EF.

           המסקנה: 
            הישר AD הוא חוצה זווית CAB.







דגשים 
           ר' משפט


51.   כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
           הנתונים: 
            במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.
              
           המסקנה: 
            במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.




דגשים 
           המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע,
           ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 


52.   כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.
             
           הנתונים: 
            במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.

           המסקנה: 
            במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.


דגשים 
           המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע, 
           ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 

55.   שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
           הנתונים: 
            במשולש ABC נתונים הגבהים  AD, BE ו-CG
            לצלעות  BC, AC ו-AB בהתאמה.
              
           המסקנה: 
            נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת הגבהים.



דגשים 
           ר' משפט


6. מרובעים: דלתון, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז וטרפז שווה שוקיים
21.   האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.
 
           הנתונים: 
            בדלתון ABCD, הקו הישר BD הוא האלכסון הראשי.
             
 
           המסקנה: 
            האלכסון הראשי בדלתון:
            א) חוצה את זוויות הראש. כלומר, וווית CBD שווה לזווית ABD.
            ב) חוצה את האלכסון השני. כלומר, AE=EC.
            ג) מאונך לאלכסון השני. כלומר האלכסון BD מאונך לאלכסון AC.
                זווית BEC שווה 900.




דגשים 
           הדלתון בשרטוט הוא דלתון קמור. המשפט נכון גם לגבי דלתון קעור, כמובן.


26.   במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
 
           הנתונים: 
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה: 
            שני זוגות הזוויות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר, 
            זווית B = זווית D

            זווית A = זווית C



דגשים 
           כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו גם במלבן, מעוין וריבוע.

27.   במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
 
           הנתונים: 
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה: 
            שני זוגות הצלעות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר, 
            AD = BC
            AB = DC



דגשים 
           כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו גם במלבן, מעוין וריבוע.

28.   במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
 
           הנתונים: 
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה: 
            שני האלכסונים חוצים זה את זה בנקודת המפגש E. כלומר, 
            BE = ED
            AE = EC



דגשים 
           האלכסונים חוצים זה את זה גם  במלבן, מעוין וריבוע.

29.   מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
 
           הנתונים: 
           מרובע  ABCD.
           שני זוגות הזוויות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר, 
           זווית B = זווית D
           זווית A = זווית C

           
המסקנה: 
           מרובע ABCD הוא מקבילית.



דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום כל זוג זוויות נגדיות שוות  שהמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..

30.   מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
 
           הנתונים: 
           מרובע  ABCD.
           שני זוגות הצלעות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר, 
           
AD = BC
           AB = DC
 
           המסקנה: 
           מרובע  ABCD הוא מקבילית.



דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום כל זוג צלעות נגדיות שוות  שהמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..

31.   מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
 
           הנתונים: 
           מרובע  ABCD.
           במרובע זה, רק זוג צלעות אחד שות ומקבילות. כלומר, 
           AB = CD
           AB  || CD

           המסקנה: 
           מרובע  ABCD. הוא מקבילית.



דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום זוג צלעות נגדיות ושוות שמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..

32.   מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
 
           הנתונים: 
           מרובע ABCD.
            האלכסונים AC ו-BD חוצים זה את זה בנקודת המפגש E. כלומר, 
            BE=ED וגם AE=EC.
 
           המסקנה: 
           מרובע ABCD הוא מקבילית.   
 

דגשים 
           האלכסונים חוצים זה את זה גם בדלתון, מלבן, מעוין וריבועו, אך לא בטרפז או בטרפז שווה שוקיים.

33.   במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
 
           הנתונים: 
           AC ו-BD הם אלכסונים במעוין ABCD.
 
           המסקנה:
            האלכסונים חוצים את ארבע זוויות המעוין.
            מאחר שהזוויות הנגדיות במעוין שוות, נקבל את השוויונות הבאים:  
            זווית ABD = זווית CBD = זווית ADB = זווית CDB.   
            זווית BAC = זווית DAC = זווית BCA = זווית DCA.   
 


דגשים 
           האלכסונים חוצים את הזוויות בריבוע, אך לא במקבילית, מלבן או טרפז.


34.   מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
 
           הנתונים: 
           ABCD מקבילית.
           האלכסון AC חוצה את זווית C. כלומר,
           זווית BCA שווה לזווית DCA.   

           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מעוין.



דגשים
 

           האלכסונים חוצים את הזוויות בריבוע, אך לא במקבילית, מלבן או טרפז.


35.   במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
 
           הנתונים: 
           ABCD מעוין.
           אלכסוני המעוין הם AB ו-CD.

           המסקנה: 
            האלכסונים מאונכים זה לזה. כלומר:
             האלכסון BD ניצב לאלכסון AC. זווית BEC=
900.



דגשים
 

           האלכסונים מאונכים זה לזה גם בריבוע, אך לא  במלבן ובמקבילית.

36.   מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
 
           הנתונים: 
           ABCD מקבילית.
           אלכסוני המקבילית AB ו-CD מאונכים זה לזה.

           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מעוין.



דגשים 
           האלכסונים מאונכים זה לזה גם בריבוע, אך לא במלבן ובמקבילית.

37.   אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
 
           הנתונים: 
           ABCD מלבן.
           אלכסוני המלבן הם  AC ו-BD.

           המסקנה: 
            אלכסוני המלבן שווים זה לזה. כלומר, AC=BD.
.


דגשים 
           האלכסונים שווים זה לזה גם בריבוע, אך לא במקבילית ומעוין.

38.   מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
 
           הנתונים: 
           ABCD מקבילית.
           אלכסוני המקבילית שווים זה לזה, כלומר AC=BD.
 
           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מלבן.


דגשים 
           האלכסונים שווים זה לזה גם בריבוע, אך לא במקבילית ומעוין.

39.   בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
 
           הנתונים: 
           ABCD טרפז שווה שוקיים.
           
 
           המסקנה: 
            הזוויות שליד אותו בסיס שוות, כלומר:
            עבור הבסיס העליון - זווית B שווה לזווית C.
            עבור הבסיס התחתון - זווית A שווה לזווית D.


דגשים 
           מתכונה זו נובע כי טרפז שווה שוקיים ניתן לחסימה במרובע, שכן קיים
            זוג של זוויות נגדיות שסכומן 
1800.
 
            ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".

40.   טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
 
           הנתונים: 
           ABCD טרפז.
           
 הזוויות שליד אותו בסיס שוות, כלומר:
            עבור הבסיס העליון - זווית B שווה לזווית C.
            עבור הבסיס התחתון - זווית A שווה לזווית D.

           המסקנה: 
            הטרפז ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.


דגשים 
           מתכונה זו נובע כי טרפז שווה שוקיים ניתן לחסימה במרובע, שכן קיים 
             זוג של זוויות נגדיות שסכומן 
1800.

            ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".


41.   בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
 
           הנתונים: 
           ABCD טרפז שווה שוקיים.

           
המסקנה: 
            האלכסונים שווים זה לזה, כלומר AC=BD.


דגשים 
            ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".


42.   טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
 
           הנתונים: 
           ABCD טרפז.
            
אלכסוני הטרפז שווים זה לזה, כלומר AC=BD.

           
המסקנה: 
            הטרפז ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.


דגשים 
            ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".


43.   קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
 
           הנתונים: 
           EF הוא קטע אמצעים בטרפז ABCD, כלומר BE=EA וגם CF=FD.
            
           המסקנה: 
            הקטע EF מקביל לבסיסי הטרפז, כלומר: EF || BC || AD.
            הקטע EF שווה למחצית סכום הבסיסים. בדוגמה שלנו:  8=2/(13+3)=EF



דגשים 
           הנתונים BE=EA וגם CF=FD לבדם מספיקים לקבוע שהקטע EF הוא קטע האמצעים בטרפז.

           בטרפז קיים רק קטע אמצעים אחד ויחיד.




44.   בטרפז, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.
           הנתונים: 
           EF הוא ישר החוצה את השוק CD, כלומר: CF=FD.
 
          הקטע EF מקביל לבסיסי הטרפז, כלומר: EF || BC || AD.
            
           המסקנה: 
            הקטע EF חוצה את השוק השנייה, BA, כלומר: BE=EA.



דגשים 
           מכך יוצא כי למעשה הוכחנו שהקטע EF הוא קטע אמצעים בטרפז ABCD.

           בטרפז קיים רק קטע אמצעים אחד ויחיד.



סיווג מרובעים
משפחת המרובעים: למורה/ סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
משפחת המרובעים: דפים לתלמידים/ סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
7. חישובי שטחים - מקבילית, משולש, מעוין, טרפז, עיגול


       ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים:

א.       שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו.

ב.       שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.

ג.         שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים.

ד.       שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים.

ה.      שטח עיגול שרדיוסו r שווה ל- π*R2

8. פרופורציה: משפט תאלס ומשפט חוצה זווית
90.    משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית, 
         מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.

           הנתונים: 
            הישרים KL ו-MN מקבילים וחותכים את שוקי הזווית A.
             
           המסקנה: 
             שני הישרים המקבילים מקצים קטעים פרופורציוניים על שוקי הזווית A. כלומר,
              AK/KN = AL/AM



דגשים:
           ר' משפט



91.    משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש,
         חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים.

           הנתונים: 
            הישר AB מקביל לצלע CD במשולש CDE.
 
            
           המסקנה: 
              הישר AB חותך את המשכי הצלעות האחרות בקטעים פרופורציוניים.
              הצלעות האחרות במשולש הן CE ו-DE, והמשכיהן הם EB ו-EA בהתאמה.
              השוויון המתקבל בהתאם למשפט: AE/ED = BE/EC.



דגשים:
           ר' משפט


92.    משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית
         ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים.

           הנתונים: 
            שני הישרים המקבילים מקצים ארבעה קטעים פרופורציוניים על שוקי הזווית A.
            כלומר, AK/KN = AL/AM

           המסקנה: 
            הישרים KL ו-MN הם ישרים מקבילים. כלומר, KL || MN.
             


 

שרטוט נוסף להמחשה. במקרה זה הישרים המקבילים הם AB ו-CD.


דגשים:
           ר' משפט


93.    חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים
         אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.

           הנתונים: 
            CE חוצה את הזווית (הפנימית) C במשולש ABC.
 
            
           המסקנה: 
            היחס בין שני הקטעים, AE ו-EB, שווה ליחס הצלעות הכולאות
            את הזווית בהתאמה,  CA ו-CB. 
            כלומר, AE/EB = CA/CB.
 



דגשים:
           ר' משפט


94.    ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה זה חלוקה פנימית,
         ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה), הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קדקודה הוא עובר.

           הנתונים: 
            הישר CE עובר דרך C, קדקוד המשולש ABC, ומחלק את הצלע AB שמול
            קדקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה). כלומר:
            כלומר, AE/EB = CA/CB.

           המסקנה: 
            CE חוצה את הזווית (הפנימית) C שדרך קדקודה הוא עובר במשולש ABC.



דגשים:
           ר' משפט



9. דמיון: משפטי דמיון משולשים, יחסי צלעות, היקפים ושטחים
95.    משפט דמיון צ.ז.צ.

           הנתונים: 
            בשני המשולשים ABC ו-DEF מתקיימים שני השוויונות בסעיפים הבאים:
            א.  היחס בין שני זוגות צלעות - שווה. כלומר,  KJ/CB = JL/BA
            ב.  הזווית הכלואה ביניהן שווה גם כן. כלומר,  זווית B שווה לזווית J.
             
           המסקנה:    
            שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.



דגשים:
           ר' משפט

96.    משפט דמיון ז.ז.

           הנתונים: 
            בשני המשולשים ABC ו-DEF ישנן שתי זוויות שוות.
            כלומר,  זווית J שווה לזווית B וזוית L שווה לזווית A. 

            יוצא מכך כי הגם הזווית השלישית שווה בשני המשולשים.
            כלומר, זווית K שווה לזווית C.
             
           המסקנה:    
            שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.



דגשים:
           ר' משפט

97.    משפט דמיון צ.צ.צ.

           הנתונים: 
            בשני המשולשים ABC ו-DEF היחס בין שלוש הצלעות - שווה.
            כלומר,  KJ/CB = JL/BA = KL/CA.

           המסקנה:    
            שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.



דגשים:
           ר' משפט


98.    במשולשים דומים: 
         א. יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
           הנתונים: 
           שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.
            הגובה JE  שייך למשולש LJK,  והגובה BD שייך למשולש ABC.
             
           המסקנה: 
            יחס הגבהים שווה ליחס הדמיון. כלומר: 
            כלומר, JE/BD = KJ/CB = JL/BA = KL/CA. 


דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני הגבהים לשתי צלעות,  על מנת
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = KL/CA.
 

         ב. יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
   
        הנתונים: 
           שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.
            חוצה הזווית MJ חוצה את זווית L במשולש LJK.
            חוצה הזווית EB חוצה את זווית B במשולש ABC.
             
           המסקנה: 
            יחס חוצי הזוויות המתאימות שווה ליחס הדמיון. כלומר: 
            כלומר, MJ/EB = KJ/CB = JL/BA = KL/CA. 



דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני חוצי הזוויות לשתי צלעות,  על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = MJ/EB.
 


         ג. יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
           הנתונים: 
           שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים.
            התיכון JE חוצה את הצלע KL במשולש LJK.
            התיכון BD חוצה את הצלע CAL במשולש ABC.
             
           המסקנה: 
            יחס התיכונים המתאימים שווה ליחס הדמיון. כלומר: 
            כלומר, JE/BD = KJ/CB = JL/BA = KL/CA. 



דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני התיכונים לשתי צלעות,  על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = 
JE/BD. 



         ד. יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
           הנתונים: 
           שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים. יחס הדמיון הוא 1:2.
            היקף המשולש ABC הוא 18, ואילו היקף המשולש LJK הוא 9.

             
           המסקנה: 
            יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון. כלומר: 
            כלומר, KJ/CB = JL/BA = KL/CA=PLJK/PABC




דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני ההיקפים לשתי צלעות,  על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = 
PLJK/PABC. 



         ה. יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
           הנתונים: 
           המעגלים שמרכזיהם D ו -E חוסמים בהתאמה את המשולשים הדומים ABC ו-LJK.

             
           המסקנה: 
            יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
            כלומר, BD/JE = KJ/CB = JL/BA = KL/CA. 



דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני הרדיוסים של המעגלים החוסמים לשתי צלעות,  על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = 
BD/JE. 



         ו. יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
           הנתונים: 
           המעגלים שמרכזיהם D ו -E חסומים  בהתאמה במשולשים הדומים ABC ו-LJK.

             
           המסקנה: 
            יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
            כלומר, ET/DU = KJ/CB = JL/BA = KL/CA. 




דגשים:
             ניתן להסתפק רק ביחס בין שני הרדיוסים של המעגלים החסומים,  על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: JL/BA = 
ET/DU. 


         ז. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.
           הנתונים: 
           שני המשולשים ABC ו-LJK - דומים. יחס הדמיון הוא 1:2.
           שטח המשולש  ABC הוא 12, ואילו היקף המשולש LJK הוא 3.

             
           המסקנה: 
            יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. כלומר, אם יחס הדמיון הוא 1:2,
            אז יחס השטחים הוא 1:4.
            כלומר,2(SLJK/SABC= (KJ/CB)2 = (JL/BA)2= (KL/CA. 




דגשים:
             ניתן להסתפק רק בריבוע היחס בין שני צלעות לבין שני שטחי המשולשים, על מנת 
             להמחיש את כוונת המשפט. למשל: 
KJ/CB)2 = SLJK/SABC). 



10. מעגל: מיתרים וקשתות, זוויות היקפיות/מרכזיות



60.  דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.
 
           הנתונים: 
           שלוש הנקודות B,C ו-D אינן נמצאות על ישר אחד.
 
           המסקנה: 
           דרך שלוש נקודות אלו עובר מעגל אחד ויחיד.



דגשים 
           ר' משפט



61.  במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
 
צד ראשון:
 
במעגל, אם שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו, אז שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.

           
הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, הזווית המרכזית CAE שווה לזווית המרכזית GAN.
 
           המסקנה: 
           הקשתות המתאימות שוות. כלומר, CE=NG.
           הקשת CE המתאימה לזווית המרכזית CAE שווה
           לקשת NG המתאימה לזווית המרכזית GAN.

צד שני:
במעגל, אם שתי קשתות שוות זו לזו, אז שתי הזוויות המרכזיות המתאימות להן שוות זו לזו.

           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, נתונות שתי קשתות שוות. כלומר, CE=NG.

           המסקנה: 
           הזווית המרכזיות המתאימות שוות. כלומר זווית CAE  שווה לזווית GAN.
           הזווית CAE המתאימה לקשת CE שווה 
           לזווית GAN המתאימה לקשת NG. 



דגשים 
           ר' משפט


62.  במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להם שווים זה לזה.
 
צד ראשון:
 
במעגל, אם שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו, אז שני המיתרים המתאימים להם שווים זה לזה.

           
הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, הזווית המרכזית CAE שווה לזווית המרכזית GAN.
 
           המסקנה: 
           המיתרים המתאימים להם שווים.  כלומר, CE=NG .
           המיתר CE המתאים לזווית המרכזית CAE שווה 
           למיתר NG המתאים לזווית המרכזית GAN.

צד שני:
 
במעגל, אם שתי מיתרים שווים זה לזה, אז שתי הזוויות המרכזיות המתאימות להן שוות זו לזו.

           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, נתונים שני מיתרים שווים. כלומר, CE=NG.

           המסקנה: 
           הזווית המרכזיות המתאימות שוות. כלומר זווית CAE  שווה לזווית GAN.
           הזווית CAE המתאימה למיתר CE שווה 
           לזווית GAN המתאימה למיתר NG. 




דגשים 
           ר' משפט


63.  במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
 

צד ראשון:
 
במעגל, אם שני מיתרים שווים זה לזה, אז שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.

           
הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, נתונים שני מיתרים שווים: CE=AG.
 
           המסקנה: 
           הקשתות המתאימות למיתרים - שוות.  כלומר, CE=NG . 
           הקשת CE המתאימה למיתר CE שווה
           לקשת NG המתאימה למיתר NG. 

צד שני:
 
במעגל, אם שתי קשתות מתאימות זו לזו, אז המיתרים המתאימים להם שווים זה לזה.
     
   

          הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A, נתונות שתי קשתות שוות: CE=AG. 
 
           המסקנה: 
           המיתרים המתאימים לקשתות - שווים. כלומר, CE=NG .
           המיתר CE המתאים לקשת CE  שווה 
           למיתר NG המתאים לקשת NG.



דגשים 
           ר' משפט


64.  מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
 
           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו P, המיתר CE שווה למיתר AG.
 
           המסקנה: 
           המרחק של המיתר CE ממרכז המעגל שווה
           למרחק של המיתר AG ממרכז המעגל. כלומר, 
            PH = PD.
 



דגשים 
           ר' משפט


65.  מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
 
           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו P, מרחקו של המיתר CE ממרכז המעגל שווה
           למרחקו של המיתר AG ממרכז המעגל. כלומר, 
            PH = PD.

           המסקנה: 
           המיתר CE שווה למיתר AG. כלומר, CE = AG.



דגשים 
           ר' משפט


66.  במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר,
       אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

 
           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו P, מרחקו של המיתר CE ממרכז המעגל קטן יותר
           ממרחקו של המיתר AG ממרכז המעגל. כלומר, 
            PH < PD.

           המסקנה: 
           המיתר CE ארוך מהמיתר AG. כלומר, CE > AG.



דגשים 
           ר' משפט


67.  האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר
       וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.

 
           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו A,  הקטע AF הוא אנך ממרכז המעגל למיתר BC.
 
           המסקנה: 
           א. האנך חוצה את המיתר. כלומר, CF=BF.
           ב. האנך חוצה את הזווית המרכזית BAC המתאימה למיתר.  
               כלומר, זווית BAE שווה לזווית CAE.
           ג. האנך חוצה את הקשת BC המתאימה למיתר. כלומר, הקשת BE שווה לקשת CE.



דגשים 
           ר' משפט


68.  קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
 
           הנתונים: 
            הקטע AF יוצא ממרכז המעגל וחוצה את המיתר BC. כלומר,  BF = FC.

           
המסקנה:
           הקטע AF היוצא ממרכז המעגל, גם מאונך למיתר BC.
           כלומר, הזוויות AFC ו-AFB  הן זוויות ישרות.

 



דגשים 
           ר' משפט


69.  במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
 
           הנתונים: 
           הזווית HKE היא זווית היקפית הנשענת על הקשת HE במעגל שמרכזו D.
           הזווית HDE היא זווית מרכזית הנשענת גם כן על הקשת HE במעגל שמרכזו D.
 
           המסקנה: 
           הזווית ההיקפית HKE שווה למחצית הזווית המרכזית HDE הנשענת על אותה קשת.




דגשים 
           ר' משפט


70.  במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים
 
          הנתונים: 
           הזוויות ההיקפיות GFE ו-BCD שוות זו לזו.

           המסקנה: 
           הקשתות המתאימות EG ו-BD  - שוות.
           כמו כן, המיתרים המתאימים EG ו-BD - שווים גם כן.





בשרטוט זה, שלוש הזוויות ההיקפיות השוות הבאות: MON, MPN ו-MGN,
נשענות על אותה קשת, MN.

  

בשרטוט זה, שלוש הזוויות ההיקפיות בנות 900 נשנעות על אותו מיתר,
שהוא למעשה הקוטר, ועל אותה קשת, BC.


 
דגשים 
           גודלה של הקשת הוא כגודל הזווית המרכזית הנשענת עליה.
           מכאן נובע כי גודלה של הקשת גדול פי 2 מגודל הזווית ההיקפית הנשענת עליה.



71.  במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
 

          הנתונים: 
           הקשת EG שווה לקשת BD במעגל שמרכזו בנקודה A.

           המסקנה: 
           הזווית המרכזית GFE הנשענת על הקשת GE, שווה 
           לזווית המרכזית BCD הנשענת על הקשת BD.




דגשים 
           ר' משפט

72.  במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
 
           הנתונים: 
           במעגל הנתון ישנן 3 זוויות היקפיות: MPN, MON ו-MGN.
            3 זוויות היקפיות אלו נשענות על המיתר MN מאותו צד של המיתר, צדו הימני.   
 
 
           המסקנה: 
           במעגל הנתון 3 הזוויות ההיקפיות שוות זו לזו:  620 =MPN = MON = MGN.

 

שרטוט להמחשה נוספת - במקרה זה, 3 הזוויות ההיקפיות,
BEC, BHC ו-BKC נשענות על הקוטר BC, ולכן שלושתן שוות ל-
900 כ"א.



דגשים
 

           לפי משפט 69, זווית מרכזית הנשענת על קוטר היא בת 1800.
           למעשה, הקוטר הוא זווית מרכזית שטוחה.  




73.  זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (900).

           הנתונים: 
           במעגל שמרכזו בנקודה A, הזווית BEC היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר BC.

           המסקנה: 
           גודלה של הזווית ההיקפית BEC הוא 900.



דגשים 
           ר' משפט.


74.  זווית היקפית בת 900 נשענת על קוטר.
 
           הנתונים: 
           הזווית BEC היא זווית היקפית בת 900 במעגל שמרכזו בנקודה A.
            זווית זו נשענת על המיתר BC. 
  
           המסקנה: 
           המיתר BC, עליו נשענת הזווית ההיקפית בת 900, הוא קוטר.



דגשים 
           ר' משפט


75.  במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות
       הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

 
           הנתונים: 
           הזווית BFE היא זווית פנימית במעגל.
 
           המסקנה: 
           הזווית הפנימית BFE שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין
           שוקי  הזווית ובין המשכיהן. כלומר, זווית BFE שווה למחצית סכום 
            הקשתות BE ו-DC.
 



דגשים 
           ר' משפט

76.  במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות
       הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

 
           הנתונים: 
           הזווית FHP היא חיצונית למעגל.
 
           המסקנה: 
           הזווית החיצונית FHP שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין 
           שוקי  הזווית. כלומר, זווית 
FHP שווה למחצית הפרש 
            הקשתות FP ו-GM.



דגשים 
           הקשת הקרובה לקדקוד הזווית החיצונית היא הקטנה מבין שתי הקשתות.


82.  קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
 
           הנתונים: 
           המעגל שמרכזו C והמעגל שמרכזו A - חותכים זה את זה.
           הישר CA הוא קטע המרכזים של שני המעגלים.
           FG הוא מיתר משותף לשני המעגלים. 
             
 
           המסקנה: 
           CA חוצה את המיתר המשותף FG. כלומר: FH = HG.
           CA מאונך למיתר המשותף FG. כלומר: זווית FHA שווה 900.




דגשים 
           ר' משפט

83.  נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
 
           הנתונים: 
           המעגל שמרכזו M והמעגל שמרכזו A - משיקים זה לזה.
           הנקודה P היא נקודת ההשקה של שני המעגלים.
           הישר MA הוא קטע המרכזים של שני המעגלים.
 
 
           המסקנה: 
           הנקודה P נמצאת על קטע המרכזים של המעגל.




שרטוט המדגים את מיקומה של נקודת ההשקה, T,
כאשר נמצאת על המשכו של קטע המרכזים AB.


דגשים 
           ר' משפט



http://www.kaye7.org.il/ace/76.GIF
11. משיק למעגל

77.  המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
 
           הנתונים: 
           נתון מעגל שמרכזו בנקודה A.
           הישר BC הוא משיק למעגל בנקודה B.
           BA הוא רדיוס המעגל.
 
           המסקנה: 
           המשיק BC מאונך לרדיוס BA בנקודת ההשקה B.
           כלומר,  זווית CBA שווה 900.



דגשים 
           ר' משפט

78.  ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
 
           הנתונים: 
           נתון מעגל שמרכזו בנקודה A.
           הישר BC מאונך לרדיוס BA בקצהו אשר בנקודה B.
           כלומר,  זווית CBA שווה 900.
 

           
המסקנה: 
           הישר BC הוא משיק למעגל בנקודה B.
 
           


דגשים 
           ר' משפט

79.  זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
 
           הנתונים: 
           הישר BC משיק למעגל בנקודה B.
           BD הוא מיתר במעגל.
           זווית CBD היא הזווית בין המשיק למיתר.
           זווית BED היא זווית היקפית במעגל הנשענת על המיתר BD  מצידו השני.
 
           המסקנה: 
           הזווית CBD שווה לזווית BED.



המחשה נוספת למקרה בו מדובר במספר
זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר: 


דגשים 
           ר' משפט

80.  שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
 
           הנתונים: 
           שני הישרים CB ו-CA יוצאים מאותה נקודה A ומשיקים למעגל.
 
           המסקנה: 
           שני המשיקים CB ו-CA שווים זה לזה. כלומר: CB=CA.



דגשים 
           ר' משפט

81.  קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל,
        חוצה את הזווית שבין שני המשיקים.

 
           הנתונים: 
           הנקודה A היא מרכז המעגל הנתון.
           הקטע CA מחבר את מרכז המעגל לנקודה C, ממנה יוצאים שני משיקים למעגל,
            CB המשיק למעגל בנקודה B, ו-CD המשיק למעגל בנקודה D. 
           
 
           המסקנה: 
           הקטע CA חוצה את הזווית שבין שני המשיקים. כלומר:
           זווית BCA שווה לזווית DCA.




דגשים 
           ר' משפט
12. מעגל חוסם משולש/מרובע ומעגל חסום במשולש/מרובע

49.  שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
 
           הנתונים: 
           במשולש ABC ישנם שלושה חוצי-זוויות:
           AD חוצה את זווית A.
           BE חוצה את זווית B.
           CG חוצה את זווית C.

           המסקנה: 
           שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת, נקודה F,
           ונקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולש.
 




דגשים 
           ר' משפט





50.  בכל משולש אפשר לחסום מעגל.
 
           הנתונים: 
           משולש כלשהו.
 
           המסקנה: 
           ניתן לחסום מעגל במשולש זה.




דגשים 
           ניתן לחסום במשולש רק מעגל אחד ויחיד.
           רק במשולש ווה צלעות מתלכדים מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום. 



53.  כל משולש ניתן לחסום במעגל.
 
           הנתונים: 
           משולש כלשהו.
 
           המסקנה: 

           ניתן לחסום במשולש רק מעגל אחד ויחיד.
           רק במשולש ווה צלעות מתלכדים מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום. 





דגשים 
           ניתן לחסום משולש רק באמצעות מעגל אחד ויחיד.


54.  במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת,
       שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

 
           הנתונים: 
           במשולש ABC ישנם שלושה אנכים אמצעיים:
           FD אנך אמצעי לצלע CB.
           FG אנך אמצעי לצלע AB.
           FE אנך אמצעי לצלע AC.

           המסקנה: 
           שלושת האנכים האמצעיים חוצי הזוויות נחתכים בנקודה אחת, נקודה F,
           ונקודה זו היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.



דגשים 
           ר' משפט




56.   ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-1800.

צד ראשון:
 
אם ניתן לחסום מרובע במעגל, אז סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-
1800.
           הנתונים: 
           ניתן לחסום את המרובע OPMN במעגל.
 
           המסקנה: 
           סכום זוג זוויות נגדיות במרובע OPMN שווה ל-1800
.

צד שני:
אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה 
ל-1800, אז ניתן לחסום מרובע במעגל.   

       
   הנתונים: 
           סכום זוג זוויות נגדיות במרובע OPMN שווה ל-1800.
 
          המסקנה: 
           ניתן לחסום את המרובע OPMN במעגל.




דגשים 
           אם סכום זוג אחד של זוויות נגדיות הוא 1800,
              אז גם סכום הזוג השני של הזוויות הנגדיות הוא 
1800.

           טרפז ניתן לחסימה במעגל אם ורק אם הוא טרפז שווה שוקיים.

57.   מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה
         לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.


צד ראשון:
 
אם מרובע קמור חוסם מעגל, אז סכום שתי צלעות נגדיות שווה
  לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

           
הנתונים: 
           המרובע הקמור MNPR חוסם מעגל.
 
           המסקנה: 
           סכום שתי צלעות נגדיות במרובע MNPR שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות. נדגים: 
            9 = MN+PR = MR+PN

צד שני:
 אם במרובע סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.
 אז ניתן לחסום את המרובע במעגל.

           הנתונים: 
           סכום שתי צלעות נגדיות במרובע MNPR שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות. נדגים: 
            9 = MN+PR = MR+PN

           המסקנה: 
           המרובע הקמור MNPR ניתן לחסימה במעגל.



דגשים 
           ר' משפט


13. פרופורציה במעגל, משיקים וחותכים
99.   אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה
        למכפלת קטעי המיתר השני.

           הנתונים: 
            במעגל שמרכזו A, המיתרים BC ו-DE נחתכים.
              
           המסקנה: 
            מכפלת קטעי המיתר האחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני. נדגים זאת:
            מכפלת קטעי מיתר אחד, BC,  היא 12=6*2=BF*FC.
            מכפלת קטעי המיתר השני,  ED,   היא 12=4*3=EF*FD.



דגשים 
           ר' משפט


100.  אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה
         למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.

           הנתונים: 
            מנקודה H שמחוץ למעגל (שמרכזו בנקודה A) יוצאים שני חותכים, HF ו-HG.
  
            
           המסקנה: 
            מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. נדגים זאת:
            מכפלת חותך אחד, HF, בחלקו החיצוני, HG, היא 40=4*10=HF*HG.
            מכפלת חותך אחד, HJ, בחלקו החיצוני, HM, היא 36=5*8=HF*HG. 



דגשים 
           ר' משפט

101.  אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה
         לריבוע המשיק.

         
           הנתונים: 
            מנקודה H שמחוץ למעגל (שמרכזו בנקודה A) יוצאים חותך MC ומשיק MT.
  
            
           המסקנה: 
            מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק. נדגים זאת:
            מכפלת חותך אחד, HF, בחלקו החיצוני, HG, היא 36=3*12=MC*MR.
            ריבוע המשיק, HT,  הוא 36=62=2(HT). 

          


דגשים 
           ר' משפט

14. מצולעים קמורים ומצולעים משוכללים

58.  כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.

           
הנתונים: 
           מצולע משוכלל בעל n צלעות ו-n זוויות (כל צלעותיו וזוויותיו שוות זו לזו).
 
           המסקנה: 
           המצולע המשוכלל ניתן לחסימה במעגל.



דגשים 
           מרכז המעגל החוסם מצולע משוכלל ומרכז המעגל החסום במצולע משוכלל - מתלכדים.


59.  בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.

           הנתונים: 
           מצולע משוכלל בעל n צלעות ו-n זוויות (כל צלעותיו וזוויותיו שוות זו לזו).
 
           המסקנה: 
           במצולע המשוכלל ניתן לחסום מעגל.



דגשים 
           מרכז המעגל החוסם מצולע משוכלל ומרכז המעגל החסום במצולע משוכלל - מתלכדים.

104.  סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא (1800)*(n-2)

           הנתונים: 
           מצולע קמור בעל n צלעות (ר' הגדרת מצולע קמור).
 
           המסקנה: 
           סכום הזוויות הפנימיות של המצולע הקמור הוא (1800)*(n-2).



דגשים 
           בדוגמאות המצורפות, סכום הזוויות של המשושה המשוכלל הוא 7200=(1800)*(6-2),
           ואילו סכום הזוויות של המחומש המשוכלל הוא 
5400=(1800)*(5-2).
           
           מצולע משוכלל הוא מצולע קמור.  
           

פתרונות מלאים לשאלות בגיאומטריה בשאלון הבגרות 806 במתמטיקה ל-5 יח"ל

חורף 2013 תשע"ג - שאלה 5 - מעגל ללא פרופורציה ודמיון
חורף 2013 תשע"ג - שאלה 4 - מעגל ללא פרופורציה ודמיון
פתרונות לספרי הלימוד של בני גורן/ שאלות בגיאומטריה
הנדסה חלק ב'/ בני גורן - תרגילים לכיתה י'
מקבילית - תרגיל 11 בעמוד 74
מקבילית - תרגיל 17 בעמוד 75
מקבילית - תרגיל 18 בעמוד 76
מקבילית - תרגיל 3 בעמוד 77
מקבילית - תרגיל 8 בעמוד 78
מקבילית - תרגיל 16 בעמוד 82
מלבן - תרגיל 17 בעמוד 91
מלבן - תרגיל 22 בעמוד 91
מלבן - תרגיל 6 בעמוד 95
מלבן - תרגיל 8 בעמוד 97
מעוין - תרגיל 17 בעמוד 103
מעוין - תרגיל 18 בעמוד 103
מעוין - תרגיל 6 בעמוד 107
מעוין - תרגיל 11 בעמוד 108 (בניית עזר)
מעוין - תרגיל 4 בעמוד 109
מעוין - תרגיל 5 בעמוד 109
מעוין - תרגיל 13 בעמוד 111 (כוכבית)
ריבוע - תרגיל 14 בעמוד 115
ריבוע - תרגיל 15 בעמוד 115
ריבוע - תרגיל 3 בעמוד 117
תרגילים לחזרה (מרובעים) - תרגיל 4 בעמוד 123
תרגילים לחזרה (מרובעים) - תרגיל 15 בעמוד 125
טרפז - תרגיל 16 בעמוד 131
טרפז - תרגיל 18 בעמוד 131 (בניית עזר)
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 13 בעמוד 137
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 14 בעמוד 137
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 20 בעמוד 139
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 22 בעמוד 139
טרפז - תרגיל 8 בעמוד 145 (בניית עזר)
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 11 בעמוד 146
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 13 בעמוד 15
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 17 בעמוד 155
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 22 בעמוד 156
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 24 בעמוד 156
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 10 בעמוד 161
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 8 בעמוד 164 (בניית עזר)
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 10 בעמוד 164 (בניית עזר)
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 22 בעמוד 170
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 23 בעמוד 171
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 24 בעמוד 171
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 5 בעמוד 175
מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 14 בעמוד 182
הנדסה חלק ב'/ בני גורן - תרגילים לכיתה י"א
הגדרת המעגל - תרגיל 9 בעמוד 197
זווית מרכזית, מיתרים וקשתות - תרגיל 13 בעמוד 205
זווית מרכזית, מיתרים וקשתות - תרגיל 16 בעמוד 206 (בניית עזר)
זווית היקפית - תרגיל 11 בעמוד 229 (בניית עזר)
זוויות היקפיות - תרגיל 8 בעמוד 241
זוויות במעגל - תרגיל 18 בעמוד 254 (כוכבית, בניית עזר)
שני משיקים למעגל - תרגיל 12 בעמוד 267 (בניית עזר)
זווית בין משיק למיתר - תרגיל 19 בעמוד 275 (בניית עזר) .txt
המשיק למעגל - תרגיל 14 בעמוד 279
שני מעגלים - תרגיל 15 בעמוד 290
שני מעגלים - תרגיל 22 בעמוד 291
שני מעגלים - תרגיל 25 בעמוד 291
שני מעגלים - תרגיל 8 בעמוד 296 (בניית עזר)
שני מעגלים - תרגיל 10 בעמוד 296 (בניית עזר)
מרובע חסום במעגל - תרגיל 13 בעמוד 316 (בניית עזר)
מרובע חסום במעגל - תרגיל 14 בעמוד 316 (בניית עזר)
מרובע חסום במעגל - תרגיל 24 בעמוד 318
מרובע חסום במעגל - תרגיל 26 בעמוד 318
מרובע חסום במעגל - תרגיל 31 בעמוד 319 (בניית עזר, כוכבית)
מעגל חוסם ומעגל חסום - תרגיל 16 בעמוד 330
מעגל חוסם ומעגל חסום - תרגיל 26 בעמוד 332
מתמטיקה (4 יחידות לימוד) - חלק ב'-1, שאלון 804 )/ בני גורן
המשיק למעגל - תרגיל 9 בעמוד 229 (בניית עזר)
פתרונות לספרי הלימוד של אהרון אספיס/ שאלות בגיאומטריה
גאומטריה של המישור, חלק ב'/ אהרון אספיס - תרגילים לכיתה י'
מעוין - תרגיל 15 בעמוד 100
מעוין - תרגיל 19 בעמוד 101
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 16 בעמוד 151
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 29 בעמוד 157
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 33 בעמוד 158 (בניית עזר)
פתרונות לספרי הלימוד של יואל גבע/ שאלות בגיאומטריה

מתמטיקה - שאלונים 804 ו-806 (כיתה י'), 4 ו-5 יח"ל - כרך א'/ יואל גבע | אריק דז'לטי
אי-שוויונים במשולש - תרגיל 21 בעמוד 381
אי-שוויונים במשולש - תרגיל 24 בעמוד 382
משולש ישר זווית - תרגיל 21 בעמוד 390 (כוכבית, בניית עזר)
משולש ישר זווית - תרגיל 44 בעמוד 395 (כוכבית, בניית עזר)
משולש ישר זווית - תרגיל 15 בעמוד 400
מקבילית - תרגיל 34 בעמוד 408
מקבילית - תרגיל 37 בעמוד 409
מקבילית - תרגיל 38 בעמוד 409
מקבילית - תרגיל 46 בעמוד 410 )(כוכבית, בניית עזר)
מלבן - תרגיל 15 בעמוד 414
מלבן - תרגיל 17 בעמוד 415
מלבן - תרגיל 19 בעמוד 415
מלבן - תרגיל 20 בעמוד 415 (בניית עזר)
מעוין - תרגיל 15 בעמוד 419
מעוין - תרגיל 27 בעמוד 421
מעוין - תרגיל 28 בעמוד 422
ריבוע - תרגיל 8 בעמוד 425
ריבוע - תרגיל 12 בעמוד 426
ריבוע - תרגיל 16 בעמוד 427
ריבוע - תרגיל 19 בעמוד 427
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 7 בעמוד 432
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 14 בעמוד 433
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 18 בעמוד 434
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 19 בעמוד 434 (בניית עזר)
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 21 בעמוד 434
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 22 בעמוד 434
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 23 בעמוד 435
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 26 בעמוד 435
טרפז שווה שוקיים - תרגיל 29 בעמוד 436
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 9 בעמוד 440
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 10 בעמוד 440
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 11 בעמוד 440
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 12 בעמוד 440
קטע אמצעים במשולש - תרגיל 16 בעמוד 441
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 20 בעמוד 442
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 22 בעמוד 443
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 23 בעמוד 443
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 24 בעמוד 443
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 25 בעמוד 443
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 27 בעמוד 444
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 32 בעמוד 445 (בניית עזר)
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 33 בעמוד 445 (כוכבית, בניית עזר)
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 35 בעמוד 445
הוכחת קטע אמצעים - תרגיל 37 בעמוד 446
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 8 בעמוד 449
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 10 בעמוד 449
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 12 בעמוד 450
קטע אמצעים בטרפז - תרגיל 16 בעמוד 450
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 3 בעמוד 453
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 4 בעמוד 453
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 9 בעמוד 454
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 10 בעמוד 454
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 11 בעמוד 454
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 14 בעמוד 455
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 15 בעמוד 455
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 16 בעמוד 455
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 17 בעמוד 455
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 18 בעמוד 456
נקודת מפגש התיכונים במשולש - תרגיל 22 בעמוד 456 (בניית עזר)
נקודת מפגש הגבהים במשולש - תרגיל 28 בעמוד 458
נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש - תרגיל 49 בעמוד 463
שטחים - תרגיל 23 בעמוד 469
שטחים - תרגיל 26 בעמוד 469
שטחים - תרגיל 30 בעמוד 470
שטחים - תרגיל 31 בעמוד 470
שטחים - תרגיל 41 בעמוד 472
שטח מקבילית - תרגיל 57 בעמוד 475 (בניית עזר)
שטח מקבילית - תרגיל 59 בעמוד 476
שטח מעוין - תרגיל 77 בעמוד 479
שטח טרפז - תרגיל 91 בעמוד 482
שטח טרפז - תרגיל 95 בעמוד 483
משפט תלס - תרגיל 10 בעמוד 505
משפט תלס - תרגיל 12 בעמוד 505
משפט תלס - תרגיל 45 בעמוד 512
סיכומים בגיאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה/ מאיר בכור
 

 

 



ראשי פרקים של הסיכום בגיאומטריה 

א. עצות כלליות והדגשים חשובים.
ב. עקרונות במשפטי חפיפה ודמיון.

 

משפטים בגיאומטריה – נקודות חשובות לתשומת לב.
סוגי זוויות בין ישרים מקבילים.
משולשים – משפטים שחשוב לזכור במיוחד.
מרובעים – משפטים נבחרים וטבלת סיכום.

1. כללי.
2. תכונות המקבילית.
3. תכונות המלבן.
4. תכונות המעויין.
5. תכונות הריבוע.
6. הטרפז.

 

המעגל – משפטים נבחרים.

שטחים – משפטים נבחרים.
משפט פיתגורס ושימושיו.
פרופורציה ודמיון – משפטים נבחרים.
פרופורציה במשולש ישר זווית – משפטים.
פרופורציה במעגל – משפטים.


קובץ להורדה - סיכום גיאומטריה של המישור
טכניקות הוכחה לפרק המשולשים


1. זוויות בין מקבילים (עדיפות לזוויות מתחלפות, בפרט בפרק המרובעים).
2. זוויות צמודות (זוויות צמודות לזוויות שוות – שוות גם הן).
3. זוויות קודקודיות.
4. תכונות חוצה זווית, תיכון וגובה (בדגש על משולש שווה-שוקיים).
5. חיבור/חיסור קטעים שווים.
6. חיבור/חיסור זוויות שוות.
7. כלל המעבר.
8. חפיפת משולשים.
9. משפט פיתגורס, תיכון ליתר, משולש יפה.

שלבים בחפיפת משולשים:
1. נשתמש בנתוני השאלה כדי לאתר זוויות או צלעות שוות.
2. נחפש צלעות/זוויות שוות נוספות באמצעות אחת הטכניקות שבסעיף הקודם.
3. לאחר שנמצא את הדרוש, נחליט מהו המשפט שבאמצעותו נבצע את החפיפה:
    צ.ז.צ    או    ז.צ.ז     או    צ.צ.צ    או    צ.צ.ז 
4. נרשום את המשולשים החופפים לפי סדר הקודקודים המתאים.
5. נוציא את הצמב"ח או הזמב"ח הדרוש לפי מהש צריך להוכיח.


איך מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים?
תכונות מרובעים ואיך מוכיחים שמרובע הוא...
תכונות משותפות למקבילית, מלבן, מעוין וריבוע:
1. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
2. שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.
3. האלכסונים חוצים זה את זה.
4. סכום שתי זוויות סמוכות הוא 1800.
5. זוויות נגדיות שוות.
* שאלות רבות נפתרות ע"י סימון זוויות מתחלפות בין מקבילים.

תכונות ייחודיות של מרובעים:
* כשנתון אחד מהמרובעים, בדר"כ יש להסתמך בהוכחה על אחת מתכונות אלו, המבדילות אותה
   משאר הצורות (למעט ריבוע):
1. מלבן – האלכסונים שווים זה לזה. 4 זוויות ישרות.
2. מעוין – כל הצלעות שוות. אלכסונים מאונכים. האלכסונים חוצים את הזוויות.
3. טרפז שו"ש – תכונת החלוקה של האלכסונים.
4. דלתון – האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.


איך מוכיחים שמרובע הוא....+תכונות אופייניות ?
דלתון
מקבילית
מלבן
מעוין
ריבוע
טרפז
טרפז שווה שוקיים
הנחיות לפתרון שאלות בפרק המעגל

מעגל - הנחיות כלליות:

1. ברב השאלות, החל מהפרק על זוויות במעגל, ובפרט בפרק לימוד המשיק למעגל,
    סימון זווית עוגן והמשך הטיול על השרטוט לחישוב זוויות לפי המשפטים הידועים,
    פותר מיידית את הבעיה או מביא לפתרון של אחוזים ניכרים ממנה.
    תלמידים לא מסמנים זווית עוגן מכיוון שלא גבשו עדיין רעיון לפתרון, אך דווקא 
    סימון הזווית מביא לפתרון מהיר יותר. במקרה הכי גרוע, מוחקים ובוחרים זווית אחרת.
2. כאשר נתון משיק למעגל, חייבים ליישם את אחד ממשפטי המשיק. לחפש רדיוס/קוטר,
    זוויות כלואות, מרכזיות, היקפיות וכן הלאה.

3. כאשר משתמשים בזוויות היקפית, לוודא כי אכן שתי שוקיה מסתיימות בנקודות קצה על המעגל.

4. לעתים נתון משולש חסום במעגל או משולש חוסם מעגל כחלק מתיאור הנתונים, ללא קשר לשימוש 
    במשפט על מרכז המעגל כמפגש חוצי הזוויות או מפגש האנכים האמצעיים בהתאמה.
5. ישנם מקרים רבים שלא נתון במפורש "המרובע 
ABCD חסום במעגל", וללא שימוש במשפט
    זה (סכום זוויות נגדיות הוא 1800) לא ניתן לפתור. במהלך ההוכחה יש לחפש בשרטוט, ולפעמים
    מתגלה יותר ממרובע אחד שחסום באותו מעגל.


בניות עזר נפוצות והשימוש בהן


בניות עזר מקובלות:
* כלל: 
אין לייחס לבניית עזר יותר מתכונה אחת.
           על דרך החיוב: אם העברנו גובה במשולש, לא נוכל
           לומר שהגובה הוא גם חוצה זווית, אלא אם נוכיח זאת.
           למשל, אם נוכיח שאותו משולש הוא משולש שווה שוקיים.
 

משולשים
1. נתון: משולש שווה שוקיים.
    בניית עזר: הורדת גובה במשולש שווה-שוקיים (ולכן הוא גם תיכון וגם חוצה זווית).

2. נתון: משולש ישר-זווית.
    * במהלך השאלה הוא יכול להתגלות כמשולש יפה או שייתכן שימוש במשפט
       התיכון ליתר או משפט פיתגורס.

3. נתון: 
AB=BC.
    * שתי הצלעות הן שוקי משולש, ולכן זהו משולש שווה-שוקיים.
    * שתי הצלעות יכולות לסייע בחפיפת משולשים, על אף שלא נתבקשנו לחפוף במפורש.
    * שני הקווים הם מיתרים באותו מעגל (נחפש זוויות היקפיות/מרכזיות).

4. נתון: קווים מקבילים.
    * עדיפות לסימון זוויות מתחלפות.
    * קו אחד יכול להיות קטע אמצעים במשולש, והשני – בסיס המשולש.
    * אם הקווים גם שווים, יתכן כי נצטרך להוכיח את קיומם של מקבילית/מלבן/מעוין/ריבוע.
       בפרט אם נתונים שני זוגות של קווים מקבילים.
    * שימוש במשפט תאלס ובהרחבותיו. 

5. נתון: תיכון, אמצע קטע.
    * שימושים: קטע אמצעים במשולש, אלכסונים נחצים באחד מהמרובעים.

6. נתון: קוטר במעגל.
    בניית עזר: זווית הקפית הנשענת על הקוטר. לפי המשפט גודלה 900.

7. נתון: משיק למעגל.
    בניית עזר: רדיוס או קוטר לנקודת ההשקה.

    * ננסה להשתמש באחד ממשפטי המשיק (שני משיקים מאותה נקודה,
       זווית כלואה בין משיק למיתר, נקודת מפגש של משיק ורדיוס).

8. נתון: שני מעגלים החותכים אחד את השני.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.

9. נתון: שני מעגלים המשיקים זה לזה.
    בניית עזר: העברת משיק משותף.
 


בניות עזר בטרפז:
    א) העברת קו מקביל לאחת משוקי הטרפז, יוצרת מקבילית.
    ב) הורדת אנכים בטרפז מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת מלבן. 
    ג) העברת קו מקביל לאחת משוקי טרפז שו"ש, יוצרת מקבילית ומשו"ש.
    ד) הורדת אנכים בטרפז שו"ש מהבסיס הקצר לבסיס הארוך יוצרת
        מלבן ושני משולשים חופפים.
    * הבניות מתחייבות בפרט כאשר נתונה זווית בת 300 או  600 לשם
       שימוש בתכונות משולש יפה.
 


תכונת אמצע הקטע בבעיות גאומטריות

כאשר הנתונים בבעיה גיאומטרית מצביעים על אמצע/י קטע/ים בצורות גיאומטריות מסוימות,
ניתן להשתמש ישירות במשפטים הייעודיים בנושא זה.
היכן אפשר לפגוש את הנתונים הללו ובאילו סוגי שאלות וצורות גיאומטריות ניתן להשתמש בהם?

1. 
השימוש הכי נפוץ הוא תיכון במשולש. התיכון חוצה את הצלע שמול הקודקוד ממנו הוא יוצא.
    במרבית השאלות לא נאמר במפורש שהתיכון "נמצא" והפותר מתבקש להגיע אל המסקנה

     העוסקת באמצע הקטע ע"י שימוש במשפטים נוספים הקשורים לצורה הגיאומטרית הנתונה בשאלה.

2. 
אמצע היתר במשולש ישר זווית מרמז על משפט התיכון ליתר.

3. 
אנך אמצעי במשולש רגיל או משולש שווה שוקיים ממלא שני תפקידים: תיכון+גובה.
    
הגובה/חוצה זווית היוצא מזווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא תיכון לבסיס.
    
הגובה/חוצה זווית היוצא מכל קודקוד במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון.

4. 
קטע אמצעים במשולש  - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
    
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן צלעות משולש שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

5. 
קטע אמצעים בטרפז - בשאלות רבות ישנם נתונים על אמצעי קטע של צלעות שונות,
    
ומסתבר ששתיים מהצלעות הן שוקי טרפז שהחיבור בין אמצעיהם יוצר את קטע האמצעים.

6. בצורות הבאות: מקבילית, מלבן, מעויין וריבוע:
    האלכסונים חוצים זה את זה, קרי: נקודת מפגש האלכסונים היא אמצע קטע של כל אלכסון.
    
בדלתון, רק האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו.
    
האלכסון המשני אינו חוצה את האלכסון הראשי.


7. אמצע קטע במעגל - השימוש הבסיסי: מרכז המעגל הוא אמצע הקטע של הקוטר.
                               
כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה.

8. 
אנך היוצא ממרכז המעגל למיתר, חוצה את המיתר.
    
אם מרכז המעגל הוא Oוהאנך OAמאונך למיתר BCאז Aאמצע קטע ולכן BA=AC.

9. 
שטחים - התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
    
לכן, נתון על אמצע קטע בשאלה העוסקת בשטחים, יכול לחייב תיכון כבניית עזר,
   
ושימוש במשפט שהוזכר.

משפטי עזר
 במידה שמשתמשים במשפטים אלו, שאינם ברשימת המשפטים הניתנים לציטוט ללא הוכחה - 
 יש להוכיחם:

1. אלכסוני המקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים שווי שטח.
2. טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
*. אין משפט תלס בטרפז -
    כאשר נתון טרפז עם קו מקביל לבסיסים, יש להעביר את אחד מהאלכסונים
    על מנת ליצור משולשים ואז ליישם את משפט תאלס והרחבותיו.

משמעות משפט המנוסח באופן "אם ורק אם" (אמ"מ)
המשפטים הבאים ברשימת משפטי הגיאומטריה של משרד החינוך מנוסחים
תוך שימוש במינוח "אם ורק אם":  56, 57, 61, 62, 63.

מהי המשמעות של מינוח זה? למעשה, השימוש ב"אם ורק אם" 
מאפשר לכלול באותו היגד את המשפט הישר ואת המשפט ההפוך,
כפי שניתן לקראות בהדגמות ובשרטוטים למשפטים אלו בעמוד זה.

נמחיש באמצעות דוגמה פשוטה:
א. אם ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים, אז יורד גשם.
ב. אם יורד גשם, אז ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים.

את שני המשפטים הללו נוכל לרשום כמשפט אחד המכיל את שני התנאים,
 וזאת באמצעות שימוש ב"אם ורק אם":
"יורד גשם אם ורק אם ישנם עננים מורידי-גשם בשמיים".

גם את שני המשפטים הבאים:
א. אם רהיט נקרא שולחן, אז יש לו ארבע רגליים.
ב. אם יש לרהיט ארבע רגליים, אז הוא נקרא שולחן.

נוכל לרשום כמשפט אחד המכיל את שני התנאים, וזאת באמצעות שימוש ב"אם ורק אם":
"רהיט נקרא שולחן אם ורק אם יש לו ארבע רגליים".

אך במקרה זה נשים לב שהמשפט תקף, אם כי אינו אמיתי במציאות, שכן יתכן רהיט
שיש לו ארבע רגליים, והוא כיסא (אינו נקרא שולחן).

הנחיות לפתרון בעיות מילוליות בגיאומטריה
בעיות מילוליות גאומטריות

 


1. אם רוחב מלבן הוא x ושטחו 60, אז אורך המלבן הוא 60/x.
2. אם רוחב מלבן הוא 
x והיקפו 60, אז אורך המלבן הוא (60-2x)/2.
3. אם נתון כי שטח צורה גאומטרית הוא 60, בדר"כ נתון גודל צלע נוספת, ולכן יש 
    להפעיל את נוסחת השטח הרצויה למציאת צלע נוספת. למשל, נתון שטח משולש
    ואורך הבסיס. נציב את הנתונים ונמצא את הגובה.
4. אם שטח הריבוע הוא 
3/5 משטח המלבן, אז שטח הריבוע קטן משטח המלבן, והמשוואה היא:
    (שטח המלבן)*3/5 = שטח הריבוע.
    ניסוח נוסף באחוזים: שטח הריבוע מהווה 60% משטח המלבן.
5. נתונים: 
x=30   ,y=50 . איזה אחוז מהווה x מ-y ?
    
x/y=30/50=0.6 . נכפיל פי 100 ונקבל 60%.

  
משפטים שימושיים לפתרון בעיות מילוליות גאומטריות:

1. אלכסוני המלבן מחלקים אותו ל-4 משולשים שווי שוקיים.
2. במשולש שווה שוקיים, הגובה היוצא מזווית הראש הוא גם תיכון וגם חוצה זווית.
3. במשולש ישר זווית, הצלע הארוכה ביותר היא היתר.

קישורים - אתרים בנושאי גיאומטריה/הנדסת המישור
מילון מונחים בגיאומטריה/ האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים במשרד החינוך
אספקטים קוגניטיביים בהוראה ובלמידה של גיאומטריה - חלק א'/ רנה הרשקוביץ, גליון על"ה 9 במרכז המורים הארצי למתמטיקה
אספקטים קוגניטיביים בהוראה ובלמידה של גיאומטריה - חלק ב'/רנה הרשקוביץ, גליון על"ה 10 במרכז המורים הארצי למתמטיקה
שאלת החקר : למה צריך ללמד גיאומטריה ? עבודה בקורס: טיפול ואבחון בקשיים במתמטיקה/ אוזן אסתר, ד"ר יצחק קורן, מכללת קיי התשס"ח
Van Hiele model of learn geometry/ Wikipedia
The van Hiele Levels of Geometric Understanding/Mason Marguerite,ebookbrowse
תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימוש סלקטיבי על פי רמת הלומד/ אירנה גורביץ , דבורה גורב , מריטה ברבש - מס"ע, פורטל תוכן בהוראת והכשרת מורים
המצ"ב מזווית אחרת - מצבי הוראה בעייתיים בגיאומטריה/ הגר גל - מס"ע, פורטל תוכן בהוראת והכשרת מורים
המטרות של הוראת הגיאומטריה/ סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
משפחת המרובעים: למורה/ סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
משפחת המרובעים: דפים לתלמידים/ סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
שלבים בהוראת הגיאומטריה/ שלמה יונה, סדנת מתמטיקה - עמל כפר יונה
פיתוח חשיבה גיאומטרית על-ידי פעילויות המתחילות במשחק/ תרגום של ד"ר מיכל סוקניק למאמר של Pierre M. van Hiele/ מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
חומרי למידה למודולות ההתמקצעות: גיאומטריה - מודולה לצוותים בית-ספריים/ / מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
ידע מילולי אודות צורות גאומטריות לפני לימוד גיאומטריה פורמלית/ מאת: ד"ר וג'יה דאהר ואבתאסם עבדאלח'אלק, כתב העת מספר חזק 2000 - מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
מיפוי חזותי למשפחות המשולשים והמרובעים בעזרת דיאגרמות וון/ מאת: ד"ר אברהם תורגמן - כתב העת מספר חזק 2000 - מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
גרשון רוזן: הגיאומטריה של ה"מגן דוד" / בית חינוך גליל מערבי (באתר מכון ויצמן)
ניצה שיאון: תכנון והספק בהוראת גיאומטריה / משרד החינוך
נייר עמדה בעקבות יום הגיאומטריה שהתקיים באוניברסיטת חיפה/ מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי
ריבוי פתרונות לבעיה בגיאומטריה והכללת הבעיה/רוזה לייקין, ענת לבב-ויינברג ואינה ולטמן - כתב העת המתמטי על"ה, / מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי
סוגיות גאומטריות בספרות חז"ל/ בועז צבאן, דוד גרבר, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן
סיכום המשפטים בקטגוריה גיאומטריה אוקלידית לתיכון/ ויקספר
סיכום משפטים בגיאומטריה לבגרות במתמטיקה/ אתר מלומד
רשימת משפטים בגיאומטריה, תרגילים פתורים והוכחת משפטים/ בלוג מתי מתוק
רשימת משפטים בגיאומטריה בשפה הערבית (שורה 6)/ מתמטיקה אחלה
עצות חשובות לפתרון שאלות בגיאומטריה - שאלונים 804+806 (שורה 8 - ערבית)/ מתמטיקה אחלה
רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינות הבגרות ללא הוכחה (שורה 38)/ מתמטיקה אחלה
מאמר על הוכחות מפורסמות למשפט פיתגורס (שורה 7)/ מתמטיקה אחלה
מערך לימוד מרחוק של משפט פיתגורס/עומר ויסבלום מתיכון בליך ברמת גן
קישורים - אתרי עזר לבחינת הבגרות במתמטיקה




        
                                                                                            
        


תכניות ההוראה במתמטיקה ודפי נוסחאות לבחינת הבגרות / אתר המפמ"ר למתמטיקה
בחינות הבגרות בשנים קודמות משנת תשס"ט ואילך/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
הצעת פתרונות מלאים לבחינת הבגרות במתמטיקה/ אתר משרד החינוך
שיעורי וידאו עם פתרון מפורט ומלא של תרגילים/gool
מידע על בחינות הבגרות ונוסחאונים לתלמידי 3, 4 ו-5 יח"ל/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
אתר ועדת המקצוע - מתמטיקה
חוזר מפמ"ר תשע"ג מספר 1 לחטיבות העליונות/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
מאגר לשאלון 801 החל ממועד קיץ תשע"ב/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
מאגר לשאלון 802 החל ממועד קיץ תשע"ג/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
רשימת ספרי לימוד מאושרים לשנת תשע"ג/ אגף ספרי לימוד באתר משרד החינוך
שאלות סיכום ופתרונות לנושאים מרכזיים מתכנית הלימודים של חטיבת הביניים/ אתר מפמ"ר מתמטיקה
בגרות במתמטיקה - סיכומים, קבצי עזר וטיפים מתמטיים לפי נושאים
כתב העת המתמטי "אלף אפס"/ אתר מכללה ירושלים
כתב העת המתמטי "אתגר" (מכון ויצמן+הטכניון), גליונות למתמטיקה/ אתר האיגוד הישראלי למתמטיקה
כתב העת המתמטי "מספר חזק" 2000/ מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי
כתב העת המתמטי "על"ה" במרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי
מתמטיקה באמ"ץ - 3 יח"ל: פתרונות מלאים למאגר השאלות, חוברות לימוד ודפי עבודה/ האתר של יוסי דהן
תורת המספרים ונושאים מתמטיים/ מת"ל
תרשים זרימה - טריגונומטריה במישור, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים/ ענבל דוד
מורה טוב - אתר פדגוגי למורים ולתלמידים - מיומנויות למידה, גיוון דרכי הוראה והכנה לבגרות
נגזרת - האתר ללימודי מתמטיקה/ אורי ויינברג
קבצי עזר, סיכומים ומצגות מתמטיות/ אתר המתמטיקה של זמיר בן מנשה
חוברות חושבים בגרות במתמטיקה - משוואות/ מכון ברנקו וייס
אתר yourway - דפי נוסחאות, כללים חומרי עזר ותרגול לקראת בחינת הבגרות
הרשמה לקבלת עדכונים
עורכי דין בישראל נוטריון